Quantifier la stabilisation d'une moyenne

Pour une variable positive X et $\text{a>0}$, l'inégalité de Markov donne $\text{P(X≥a)≤E(X)/a}$.

Exemple guidé : Si $\text{E(X)=4}$, alors $\text{P(X≥20)≤0,2}$.

Markov s’applique à une variable aléatoire positive. Le résultat 0,2 ne dit pas que la probabilité vaut 0,2 : il garantit seulement qu’elle ne la dépasse pas. Si $\text{E(X)/a>1}$, on conserve la borne triviale 1, car une probabilité ne peut jamais excéder 1.

Bienaymé-Tchebychev affirme $\text{P(|X−μ|≥δ)≤V(X)/}{\delta }^2$ pour $\text{δ>0}$.

Exemple guidé : Avec $\text{V(X)=9}$, la probabilité d'un écart d'au moins 6 est au plus $\frac{1}{4}$.

L’événement porte sur la distance $\text{|X−μ|}$, donc sur les deux queues de la loi. Avec $\text{δ=6}$ et $\text{V(X)=9}$, la borne est $\frac{9}{36}\text{=}\frac{1}{4}$. Son complémentaire donne : au moins trois quarts de la probabilité se trouvent dans l’intervalle $\text{]μ−6;μ+6[}$.

Pour n variables indépendantes de même variance ${\sigma }^2$, la moyenne $M_n$ a pour variance $\frac{{\sigma }^2}{n}$.

Exemple guidé : Multiplier la taille de l'échantillon par 4 divise l'écart-type de la moyenne par 2.

Écris $M_n\text{=(}{X}_1\text{+…+}{X}_n\text{)/n}$. La linéarité donne $\text{E(}{M}_n\text{)=μ}$. L’indépendance permet d’additionner les variances : $\text{V(}{X}_1\text{+…+}{X}_n\text{)=n}{\sigma }^2$, puis le facteur $\frac{1}{n}$ multiplie la variance par $\frac{1}{n^2}$. On obtient ainsi $\text{V(}{M}_n\text{)=}\frac{{\sigma }^2}{n}$, et non $\frac{{\sigma }^2}{n^2}$.

En appliquant Tchebychev à $M_n$, on obtient $\text{P(|}{M}_n\text{−μ|≥δ)≤}{\sigma }^2\text{/(n}{\delta }^2\text{)}$.

Exemple guidé : Pour ${\sigma }^2\text{=1}$, $\text{n=400}$ et $\text{δ=0,1}$, la borne vaut 0,25.

Dans l’exemple, $\text{n}{\delta }^2\text{=400×0,01=4}$, donc la probabilité d’un écart au moins égal à 0,1 est au plus $\frac{1}{4}$. On peut aussi conclure . La garantie augmente quand n grandit, mais elle reste souvent prudente par rapport à la probabilité exacte.

La moyenne d'observations indépendantes de même loi et de variance finie se concentre autour de l'espérance lorsque n augmente.

Exemple guidé : La fréquence d'un succès de probabilité p se rapproche de p en probabilité.

Converger en probabilité signifie que, pour tout $\text{δ>0}$, $\text{P(|}{M}_n\text{−μ|≥δ)}$ tend vers 0. Cela ne signifie ni que chaque suite de moyennes observée est monotone, ni qu’elle devient définitivement égale à μ. Tchebychev fournit ici la preuve : ${\sigma }^2\text{/(n}{\delta }^2\text{)}$ tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

Pour rendre la borne inférieure à α, il suffit de choisir $\text{n≥}{\sigma }^2\text{/(α}{\delta }^2\text{)}$.

Exemple guidé : Avec ${\sigma }^2\text{=4}$, $\text{δ=0,2}$ et $\text{α=0,05}$, Tchebychev demande $\text{n≥2000}$.

On résout ${\sigma }^2\text{/(n}{\delta }^2\text{)≤α}$ en isolant n, puis on arrondit à l’entier supérieur. Avec ${\sigma }^2\text{=4}$, $\text{δ=0,2}$ et $\text{α=0,05}$, le quotient vaut $\text{4/(0,05×0,04)=2000}$. Cette taille est suffisante selon Tchebychev ; elle n’est pas nécessairement la plus petite taille possible pour une loi particulière.