Passer du cercle à l'analyse d'un phénomène périodique

Au réel x correspond sur le cercle unité le point de coordonnées (cos x ; sin x). On en déduit $\text{co}{s}^2\text{x+si}{n}^2\text{x=1}$.

Exemple guidé : Pour $\text{x=}\frac{\pi }{3}$, le point a pour coordonnées (1/2 ; $\frac{\text{√3}}{2}\text{)}$.

Le cercle unité fixe simultanément le signe et la valeur possible des deux coordonnées : $\text{−1≤cos}$ $\text{x≤1}$ et $\text{−1≤sin}$ $\text{x≤1}$. Le point associé à $\text{x+2π}$ est le même que celui associé à x. Les valeurs remarquables se retrouvent en plaçant l’angle dans le bon quadrant, pas en récitant une liste sans figure.

Sinus et cosinus sont 2π-périodiques. Cos est paire et sin est impaire : $\text{cos(−x)=cos}$ x, $\text{sin(−x)=−sin}$ x.

Exemple guidé : $\text{cos(}\frac{\text{13π}}{3}\text{)=cos(}\frac{\pi }{3}\text{)=}\frac{1}{2}$ après retrait de 4π.

Pour réduire un angle, retire un multiple entier de 2π jusqu’à obtenir un représentant commode. Ensuite seulement, utilise la parité si un signe négatif subsiste. Ainsi $\text{sin(−}\frac{\text{13π}}{6}\text{)=−sin(}\frac{\text{13π}}{6}\text{)=−sin(}\frac{\pi }{6}\text{)=−}\frac{1}{2}$. Chaque égalité doit indiquer la propriété utilisée.

Sur R, (sin $\text{x)'=cos}$ x et (cos $\text{x)'=−sin}$ x. Pour une composition, le facteur de chaîne multiplie la dérivée trigonométrique.

Exemple guidé : La dérivée de cos(3x) vaut $\text{−3sin(3x)}$.

Pour une composition sin(u(x)), la dérivée est u'(x)cos(u(x)); pour cos(u(x)), elle est $\text{−u'(x)sin(u(x))}$. Dans cos(3x), la fonction intérieure est $\text{u(x)=3x}$ et $\text{u'(x)=3}$. Oublier ce facteur donne une pente fausse et compromet ensuite le tableau de variations.

Le signe de cos donne les variations de sin ; le signe de $\text{−sin}$ donne celles de cos. La périodicité permet de construire un tableau sur une période puis de le reproduire.

Exemple guidé : Sin est croissante sur $\text{[−}\frac{\pi }{2}\text{;}\frac{\pi }{\text{2]}}$ car cos y est positif.

Sur $\text{[−π;π]}$, cos x est positif sur $\text{]−}\frac{\pi }{2}\text{;}\frac{\pi }{\text{2[}}$, nul aux bornes de cet intervalle et négatif ailleurs. La fonction sinus décroît donc de 0 à $\text{−1}$, croît de $\text{−1}$ à 1, puis décroît de 1 à 0. Inscrire les valeurs $\text{−1}$, 0 et 1 évite un tableau réduit à des flèches sans ordonnées.

Les solutions de cos $\text{x=cos}$ a sont $\text{x=2kπ±a}$. Celles de sin $\text{x=sin}$ a sont $\text{x=a+2kπ}$ ou $\text{x=π−a+2kπ}$.

Exemple guidé : Sur [0;2π], sin $\text{x=}\frac{1}{2}$ donne $\text{x=}\frac{\pi }{6}$ ou 5π/6.

La résolution comporte deux temps. On écrit d’abord toutes les familles avec k entier, puis on impose l’intervalle demandé. Pour sin $\text{x=}\frac{1}{2}$ sur [0;2π], les familles donnent $\frac{\pi }{6}\text{+2kπ}$ et $\frac{\text{5π}}{6}\text{+2kπ}$ ; seul $\text{k=0}$ fournit des solutions dans l’intervalle.

Pour $\text{ω≠0}$, une fonction A $\text{cos(ωt+φ)+m}$ a pour amplitude |A|, valeur moyenne m et période 2π/|ω|. Si $\text{ω=0}$, la fonction est constante. La phase φ décale l'origine du cycle.

Exemple guidé : Pour $\text{3cos(2t)+5}$, l'amplitude vaut 3, la moyenne 5 et la période $\pi$.

Dans $\text{3cos(2t)+5}$, les valeurs oscillent entre $\text{5−3=2}$ et $\text{5+3=8}$. La période T vérifie $\text{2T=2π}$, donc $\text{T=π}$. Avant d’adopter le modèle, on contrôle les unités de t, l’adéquation des données à une oscillation régulière et la signification concrète de la valeur moyenne.