Fonctions sinus et cosinus

Ce que tu vas savoir faire

• Définir le vocabulaire essentiel du chapitre.
• Identifier une idée directrice dans un document ou une démonstration.
• Justifier une réponse par des éléments précis.
• Distinguer une affirmation, son explication et ses limites.
• Organiser une réponse courte et rigoureuse.
• Réviser à l’aide de questions et de cartes de mémorisation.

Avant de commencer

• Relire les définitions déjà rencontrées dans le parcours de Terminale.
• Prévoir un support pour reformuler les idées importantes.

Les fonctions sinus et cosinus

Les fonctions sinus et cosinus sont les pierres angulaires de la trigonométrie, avec des applications allant de la géométrie aux sciences physiques et à l’ingénierie. Dans ce cours, nous allons explorer les dérivées, les variations, ainsi que les courbes représentatives de ces fonctions fondamentales.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre les fonctions sinus et cosinus ?

Dérivées des fonctions sinus et cosinus

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \mathbb{R} et leurs dérivées sont respectivement \cos et -\sin . Cette propriété cyclique est essentielle et s'exprime par les formules suivantes : (\sin x)' = \cos x (\cos x)' = -\sin x

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre dérivées des fonctions sinus et cosinus ?

Variations et courbes représentatives

Pour étudier les variations des fonctions sinus et cosinus, nous utilisons leurs dérivées. Le sinus est croissant sur [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] et décroissant sur [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] , tandis que le cosinus est décroissant sur [0, \pi] et croissant sur [\pi, 2\pi] . Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont des ondes sinusoïdales. Le sinus a une période de 2\pi , commençant à l'origine (0,0) et passant par (\frac{\pi}{2},1) , (\pi,0) , (\frac{3\pi}{2},-1) , et (2\pi,0) avant de se répéter. Le cosinus, également périodique avec une période de 2\pi , commence à (0,1) et passe par les mêmes valeurs en ordonnée mais décalées de \frac{\pi}{2} en abscisse.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre variations et courbes représentatives ?

Résolution d'équations et inéquations

Pour résoudre une équation du type \cos(x) = a , où a est une valeur donnée, on cherche les valeurs de x dans l'intervalle [-\pi,\pi] pour lesquelles le cosinus atteint la valeur a . L'unicité de la solution dépend de |a| \leq 1 puisque les valeurs du cosinus sont comprises entre -1 et 1. Pour résoudre une inéquation du type \cos(x)

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre résolution d'équations et inéquations ?

Étude des fonctions trigonométriques dans les problèmes

En géométrie et dans de nombreux problèmes pratiques, les fonctions trigonométriques sont souvent utilisées pour modéliser des situations périodiques, comme le mouvement oscillatoire ou les ondes. Pour déterminer les variations, on analyse la fonction dérivée, tandis que pour trouver les optima, on cherche les points où la dérivée s'annule et change de signe. Prenons l'exemple de la fonction f(x) = \sin(x) sur l'intervalle [0, 2\pi] . Les points où f'(x) = \cos(x) = 0 sont x = \frac{\pi}{2} et x = \frac{3\pi}{2} . Le premier est un maximum local car la dérivée passe de positive à négative, et le second est un minimum local car la dérivée passe de négative à positive.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre étude des fonctions trigonométriques dans les problèmes ?

Approfondissement possible: fonction tangente

La fonction tangente, notée \tan , est le rapport du sinus sur le cosinus. Elle a pour formule \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} . La tangente est définie partout sauf aux points où le cosinus s'annule, c'est-à-dire à x = \frac{\pi}{2} + k\pi , où k est un entier. La dérivée de la fonction tangente est \sec^2(x) , ou équivalent 1 + \tan^2(x) , ce qui indique que la fonction tangente est toujours croissante là où elle est définie. Sa courbe représentative a des asymptotes verticales aux points d'annulation du cosinus, et elle est périodique avec une période de \pi .

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre approfondissement possible: fonction tangente ?

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

• Les fonctions sinus et cosinus sont les pierres angulaires de la trigonométrie, avec des applications allant de la géométrie aux sciences physiques et à l’ingénierie. Dans ce cours, nous allons explorer les dérivées, les variations, ainsi que les courbes représentatives de ces fonctions fondamentales.
• Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \mathbb{R} et leurs dérivées sont respectivement \cos et -\sin . Cette propriété cyclique est essentielle et s'exprime par les formules suivantes : (\sin x)' = \cos x (\cos x)' = -\sin x
• Pour étudier les variations des fonctions sinus et cosinus, nous utilisons leurs dérivées. Le sinus est croissant sur [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] et décroissant sur [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] , tandis que le cosinus est décroissant sur [0, \pi] et croissant sur [\pi, 2\pi] . Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont des ondes sinusoïdales. Le sinus a une période de 2\pi , commençant à l'origine (0,0) et passant par (\frac{\pi}{2},1) , (\pi,0) , (\frac{3\pi}{2},-1) , et (2\pi,0) avant de se répéter. Le cosinus, également périodique avec une période de 2\pi , commence à (0,1) et passe par les mêmes valeurs en ordonnée mais décalées de \frac{\pi}{2} en abscisse.
• Pour résoudre une équation du type \cos(x) = a , où a est une valeur donnée, on cherche les valeurs de x dans l'intervalle [-\pi,\pi] pour lesquelles le cosinus atteint la valeur a . L'unicité de la solution dépend de |a| \leq 1 puisque les valeurs du cosinus sont comprises entre -1 et 1. Pour résoudre une inéquation du type \cos(x)
• En géométrie et dans de nombreux problèmes pratiques, les fonctions trigonométriques sont souvent utilisées pour modéliser des situations périodiques, comme le mouvement oscillatoire ou les ondes. Pour déterminer les variations, on analyse la fonction dérivée, tandis que pour trouver les optima, on cherche les points où la dérivée s'annule et change de signe. Prenons l'exemple de la fonction f(x) = \sin(x) sur l'intervalle [0, 2\pi] . Les points où f'(x) = \cos(x) = 0 sont x = \frac{\pi}{2} et x = \frac{3\pi}{2} . Le premier est un maximum local car la dérivée passe de positive à négative, et le second est un minimum local car la dérivée passe de négative à positive.
• La fonction tangente, notée \tan , est le rapport du sinus sur le cosinus. Elle a pour formule \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} . La tangente est définie partout sauf aux points où le cosinus s'annule, c'est-à-dire à x = \frac{\pi}{2} + k\pi , où k est un entier. La dérivée de la fonction tangente est \sec^2(x) , ou équivalent 1 + \tan^2(x) , ce qui indique que la fonction tangente est toujours croissante là où elle est définie. Sa courbe représentative a des asymptotes verticales aux points d'annulation du cosinus, et elle est périodique avec une période de \pi .

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Sources et traçabilité

Dernière vérification : 2026-08-09

1. Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale, Ministère de l'Éducation nationale — consulté le 2026-08-09.