Passer d'une figure de l'espace à des relations vérifiables

Dans un repère, AB⃗ a pour coordonnées $\text{(xB−xA}$ ; $\text{yB−yA}$ ; $\text{zB−zA)}$. Les opérations se font coordonnée par coordonnée.

Exemple guidé : $\text{A(1;2;−1)}$ et $\text{B(4;0;3)}$ donnent $\overrightarrow{AB}\text{=(3;−2;4)}$.

Le calcul $\text{B−A}$ doit être effectué dans le même ordre pour les trois coordonnées. Pour contrôler le résultat, reconstruis B en ajoutant le vecteur obtenu à A : $\text{(1;2;−1)+(3;−2;4)=(4;0;3)}$. Ce retour au point d’arrivée détecte immédiatement une inversion ou une erreur de signe.

Deux vecteurs u⃗ et v⃗ sont colinéaires s'il existe un réel λ tel que $\overrightarrow{u}\text{=}\overrightarrow{\lambda v}$. Les trois coordonnées doivent être compatibles avec le même λ.

Exemple guidé : $\text{(2;−4;6)}$ et $\text{(1;−2;3)}$ sont colinéaires avec $\text{λ=2}$.

Un rapport isolé ne suffit pas. Si la première coordonnée suggère $\text{λ=2}$, les deuxième et troisième doivent vérifier le même facteur. Les vecteurs $\text{(2;−4;5)}$ et $\text{(1;−2;3)}$ ne sont donc pas colinéaires : 2 et $\text{−4}$ conviennent à $\text{λ=2}$, mais $\text{5≠2×3}$.

La droite passant par A et dirigée par u⃗ non nul est l'ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}\text{=}\overrightarrow{tu}$, t réel.

Exemple guidé : Avec $\text{A(1;0;2)}$ et $\overrightarrow{u}\text{=(2;−1;3)}$, M a pour coordonnées $\text{(1+2t}$ ; $\text{−t}$ ; $\text{2+3t)}$.

Pour tester un point M, on cherche une unique valeur de t compatible avec x, y et z. Une équation peut proposer $\text{t=1}$ tandis qu’une autre impose $\text{t=2}$ : le point n’appartient alors pas à la droite. Changer de point de départ ou multiplier le vecteur directeur par un réel non nul décrit la même droite.

Le plan passant par A et dirigé par u⃗ et v⃗ non colinéaires est l'ensemble des M tels que $\overrightarrow{AM}\text{=}\overrightarrow{su}\text{+}\overrightarrow{tv}$.

Exemple guidé : Les points A, B et C non alignés définissent le plan dirigé par AB⃗ et AC⃗.

La non-colinéarité de u⃗ et v⃗ garantit deux directions réellement différentes. Si $\overrightarrow{v}\text{=}\overrightarrow{\lambda u}$, l’expression $\text{A+}\overrightarrow{su}\text{+}\overrightarrow{tv}$ se réduit à une seule direction et ne décrit qu’une droite. Pour vérifier qu’un point appartient au plan, les deux paramètres s et t doivent satisfaire simultanément les trois coordonnées.

Un point M appartient à un plan dirigé par u⃗,v⃗ lorsque AM⃗ est combinaison linéaire de ces vecteurs. Si u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires, trois vecteurs u⃗, v⃗ et w⃗ sont coplanaires si et seulement si $\overrightarrow{w}\text{=s}$ $\overrightarrow{u}\text{+t}$ v⃗ pour deux réels s et t ; s'ils sont tous colinéaires, ils sont aussi coplanaires.

Exemple guidé : Résoudre $\overrightarrow{AM}\text{=}\overrightarrow{su}\text{+}\overrightarrow{tv}$ donne un système de trois équations à deux inconnues qui doit être compatible.

Le système possède trois équations mais seulement deux paramètres : la troisième équation joue souvent le rôle de contrôle. Si les deux premières donnent s et t mais que la troisième échoue, aucune paire commune n’existe. Pour la coplanarité de trois vecteurs, on recherche de même une relation $\overrightarrow{w}\text{=}\overrightarrow{su}\text{+}\overrightarrow{tv}$.

Deux droites peuvent être parallèles, sécantes ou non coplanaires. Une droite et un plan sont sécants, parallèles ou la droite est incluse dans le plan.

Exemple guidé : Pour deux droites paramétrées, l'égalité des coordonnées produit un système ; son absence de solution n'implique pas à elle seule le parallélisme.

L’étude commence par les directions. Des vecteurs directeurs colinéaires conduisent à des droites parallèles ou confondues ; on teste alors un point. S’ils ne sont pas colinéaires, on cherche un point commun avec des paramètres distincts. Une solution donne des droites sécantes ; aucune solution donne des droites non coplanaires, pas parallèles.