Compter chaque objet une fois

Des cas incompatibles s'additionnent ; des choix successifs indépendants dans leur comptage se multiplient.

Exemple guidé : 3 entrées et 4 plats donnent $\text{3×4}$ menus, tandis que choisir une entrée ou un plat donne $\text{3+4}$ possibilités.

Découpe l’expérience au bon endroit. Si l’on choisit successivement une entrée puis un plat, chaque entrée ouvre quatre branches : on multiplie. Si l’on choisit un seul objet dans deux catégories disjointes, aucun choix n’appartient aux deux catégories : on additionne. Un arbre court permet de vérifier la structure avant le calcul.

Une liste de longueur p formée avec n symboles autorisant les répétitions se compte par nᵖ.

Exemple guidé : Un code de quatre chiffres possède 10⁴ possibilités si les zéros initiaux sont admis.

La puissance nᵖ vient de p positions et de n choix possibles à chaque position. Elle suppose que chaque symbole peut être repris. Pour un code de quatre chiffres tous distincts, le nombre de possibilités ne serait pas 10⁴ mais $\text{10×9×8×7}$ : la règle dépend donc explicitement de l’autorisation de répétition.

Ordonner les n éléments distincts d'un ensemble donne n! permutations.

Exemple guidé : Six livres distincts peuvent être rangés de 6!$\text{=720}$ façons.

Pour construire une permutation, place d’abord l’un des n objets, puis l’un des $\text{n−1}$ restants, jusqu’au dernier. Le produit $\text{n(n−1)…1}$ donne n!. Si certains objets sont indiscernables, cette formule surcompte les rangements : l’hypothèse « objets distincts » doit apparaître avant le calcul.

Le coefficient $\text{C(n,k)}$ compte les sous-ensembles de k éléments parmi n ; l'ordre des éléments choisis ne crée pas un nouveau sous-ensemble.

Exemple guidé : Former un groupe de 3 personnes parmi 10 donne $\text{C(10,3)=120}$ groupes.

Commence par demander si deux ordres différents décrivent le même choix. ABC et BAC désignent le même groupe de trois personnes : les 3! ordres d’un même groupe doivent être neutralisés. La symétrie $\text{C(n,k)=C(n,n−k)}$ traduit aussi qu’il revient au même de choisir les k personnes retenues ou les $\text{n−k}$ personnes écartées.

En distinguant les sous-ensembles qui contiennent un élément fixé de ceux qui ne le contiennent pas, on obtient $\text{C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)}$.

Exemple guidé : Pour choisir k personnes parmi n, sépare les groupes qui contiennent Alice et ceux qui ne la contiennent pas.

La relation de Pascal est une partition, pas une identité à mémoriser seule. Chaque groupe de k personnes contient Alice ou ne la contient pas. Dans le premier cas, il reste $\text{k−1}$ personnes à choisir parmi $\text{n−1}$ ; dans le second, k personnes parmi $\text{n−1}$. Les deux familles sont incompatibles et couvrent tous les groupes.

Dans une situation équiprobable finie, la probabilité d'un événement est le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.

Exemple guidé : La probabilité d'obtenir exactement deux faces en quatre lancers vaut $\text{C(4,2)/}{2}^4\text{=}\frac{6}{16}$.

Le quotient card(A)/card(Ω) n’est valable que si les issues élémentaires de Ω sont équiprobables. Pour quatre lancers d’une pièce équilibrée, les 16 suites ordonnées ont la même probabilité ; les nombres de faces 0,1,2,3,4 ne sont pas, eux, équiprobables. On compte donc les suites avant de regrouper par nombre de succès.