Combinatoire et dénombrement

Ce que tu vas savoir faire

• Définir le vocabulaire essentiel du chapitre.
• Identifier une idée directrice dans un document ou une démonstration.
• Justifier une réponse par des éléments précis.
• Distinguer une affirmation, son explication et ses limites.
• Organiser une réponse courte et rigoureuse.
• Réviser à l’aide de questions et de cartes de mémorisation.

Avant de commencer

• Relire les définitions déjà rencontrées dans le parcours de Terminale.
• Prévoir un support pour reformuler les idées importantes.

Principe de comptage

Principe additif Lorsqu’on a deux tâches à réaliser de manière successive, si la première peut se réaliser de p façons et la seconde de q façons, alors il y a p + q façons d’effectuer l'une des deux tâches. Principe multiplicatif Si l’on peut réaliser une première tâche de p manières et, pour chaque manière de réaliser la première tâche, on peut réaliser une seconde tâche de q manières, alors on peut réaliser la séquence de ces deux tâches de p \times q manières.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre principe de comptage ?

Arrangements et combinaisons

k-listes d’un ensemble à n éléments Une k-liste est une liste ordonnée de k éléments choisis parmi n. Le nombre de k-listes possibles est donné par n^k . k-uplets d’éléments distincts Un k-uplet est un arrangement de k éléments distincts pris parmi n. Le nombre d'arrangements est \frac{n!}{(n-k)!} . Combinaisons Les combinaisons sont des sélections de k éléments d’un ensemble de n éléments sans tenir compte de l'ordre. Le nombre de combinaisons est donné par le coefficient binomial {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} .

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre arrangements et combinaisons ?

Permutations

Permutations d'un ensemble fini Une permutation est un arrangement de tous les éléments d’un ensemble. Si l'ensemble a n éléments, il y a n! permutations.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre permutations ?

Formules et propriétés

Formule de dénombrement pour les combinaisons Le nombre de combinaisons de k éléments parmi n est donné par la formule {n \choose k} . Relation de Pascal et triangle de Pascal La relation de Pascal permet de calculer les coefficients binomiaux et est visuellement représentée par le triangle de Pascal. Chaque nombre est la somme des deux nombres directement au-dessus.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre formules et propriétés ?

Applications et démonstrations

Démonstration par dénombrement de la relation On peut démontrer la relation de Pascal en utilisant le principe additif sur le nombre de façons de choisir un élément parmi n. Démonstration de la formule du binôme La formule du binôme de Newton peut être démontrée en utilisant les combinaisons pour compter le nombre de fois qu'un terme apparaît dans l'expansion de (a+b)^n .

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre applications et démonstrations ?

Exemples d'algorithmes

Génération des coefficients binomiaux Un algorithme simple pour générer les coefficients binomiaux est de calculer les factorielles et de les diviser selon la formule des combinaisons. Génération de permutations On peut utiliser l'algorithme de Heap pour générer toutes les permutations d'un ensemble fini de manière efficace. Génération de combinaisons Pour générer des combinaisons, on peut utiliser l'algorithme récursif qui construit les combinaisons en ajoutant ou non chaque élément de l'ensemble.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre exemples d'algorithmes ?

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

• Principe additif Lorsqu’on a deux tâches à réaliser de manière successive, si la première peut se réaliser de p façons et la seconde de q façons, alors il y a p + q façons d’effectuer l'une des deux tâches. Principe multiplicatif Si l’on peut réaliser une première tâche de p manières et, pour chaque manière de réaliser la première tâche, on peut réaliser une seconde tâche de q manières, alors on peut réaliser la séquence de ces deux tâches de p \times q manières.
• k-listes d’un ensemble à n éléments Une k-liste est une liste ordonnée de k éléments choisis parmi n. Le nombre de k-listes possibles est donné par n^k . k-uplets d’éléments distincts Un k-uplet est un arrangement de k éléments distincts pris parmi n. Le nombre d'arrangements est \frac{n!}{(n-k)!} . Combinaisons Les combinaisons sont des sélections de k éléments d’un ensemble de n éléments sans tenir compte de l'ordre. Le nombre de combinaisons est donné par le coefficient binomial {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} .
• Permutations d'un ensemble fini Une permutation est un arrangement de tous les éléments d’un ensemble. Si l'ensemble a n éléments, il y a n! permutations.
• Formule de dénombrement pour les combinaisons Le nombre de combinaisons de k éléments parmi n est donné par la formule {n \choose k} . Relation de Pascal et triangle de Pascal La relation de Pascal permet de calculer les coefficients binomiaux et est visuellement représentée par le triangle de Pascal. Chaque nombre est la somme des deux nombres directement au-dessus.
• Démonstration par dénombrement de la relation On peut démontrer la relation de Pascal en utilisant le principe additif sur le nombre de façons de choisir un élément parmi n. Démonstration de la formule du binôme La formule du binôme de Newton peut être démontrée en utilisant les combinaisons pour compter le nombre de fois qu'un terme apparaît dans l'expansion de (a+b)^n .
• Génération des coefficients binomiaux Un algorithme simple pour générer les coefficients binomiaux est de calculer les factorielles et de les diviser selon la formule des combinaisons. Génération de permutations On peut utiliser l'algorithme de Heap pour générer toutes les permutations d'un ensemble fini de manière efficace. Génération de combinaisons Pour générer des combinaisons, on peut utiliser l'algorithme récursif qui construit les combinaisons en ajoutant ou non chaque élément de l'ensemble.

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Sources et traçabilité

Dernière vérification : 2026-08-09

1. Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale, Ministère de l'Éducation nationale — consulté le 2026-08-09.