Modéliser un temps d’attente sans mémoire

Répète des épreuves indépendantes de probabilité de succès p, avec , jusqu’au premier succès. Si X est son rang, alors $\text{P(X=k)=(1−p)⁽k−1⁾p}$ pour $\text{k≥1}$ : $\text{k−1}$ échecs puis un succès.

La probabilité d’attendre au-delà de n essais vaut $\text{P(X>n)=}{\text{(1−p)}}^{\mathrm{n}}$. Pour , l’espérance vaut $\frac{1}{p}$, sans signifier que chaque attente dure exactement ce nombre. Définis clairement ce qui compte comme succès et si X commence à 0 ou à 1 : ici, X désigne le rang du premier succès et commence donc à 1.

La loi géométrique vérifie $\text{P(X>m+n|X>m)=P(X>n)}$. Sachant que les m premiers essais ont échoué, les essais futurs gardent la même probabilité p et restent indépendants.

Cette propriété ne dit pas que le passé est effacé dans tous les phénomènes. Une pièce qui s’use, une file qui avance ou un organisme qui vieillit peuvent avoir une mémoire. Pour tester le modèle, compare la chance de réussir au prochain essai après plusieurs durées d’attente ; elle doit rester proche de p.

Pour une durée continue T de paramètre $\text{λ>0}$, $\text{P(T>t)=e⁽−λt⁾}$. La fonction de densité est $\text{λe⁽−λt⁾}$ pour $\text{t≥0}$ et l’espérance vaut $\frac{1}{\lambda }$. Le paramètre λ s’exprime comme l’inverse d’un temps.

La loi exponentielle vérifie aussi $\text{P(T>s+t|T>s)=P(T>t)}$. La probabilité d’une durée exactement égale à une valeur est nulle ; on calcule des intervalles. Si le temps est mesuré en minutes, λ s’exprime en min⁻¹ ; changer d’unité impose donc de convertir le paramètre avant le calcul.

La géométrique convient à des essais comptés ; l’exponentielle à un temps continu. On peut rapprocher les deux avec des pas très courts, mais le passage ajoute une hypothèse sur le mécanisme.

Une moyenne d’attente observée ne suffit pas à prouver la loi exponentielle. Vérifie aussi la forme de la survie et l’absence de mémoire, puis compare plusieurs périodes. Un histogramme, une estimation des probabilités conditionnelles et la connaissance du mécanisme sont trois contrôles complémentaires ; aucun ne doit être remplacé par une simple ressemblance visuelle.