Répéter une expérience et interpréter un échantillon

La loi binomiale $\text{B(n,p)}$ compte les succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes, de même probabilité p. Les deux issues doivent être clairement définies et n fixé avant l’expérience.

Un tirage sans remise dans une petite population modifie les probabilités et rompt l’indépendance. On ne choisit donc pas la loi binomiale uniquement parce que la question contient des succès. Écris les trois hypothèses avant de nommer la loi : même expérience, même probabilité et indépendance des répétitions.

Pour X suivant $\text{B(n,p)}$, $\text{P(X=k)=C(n,k)p⁽k⁾(1−p)⁽n−k⁾}$. Le coefficient compte les positions possibles des k succès. L’espérance vaut np et l’écart type $\text{√(np(1−p))}$.

Une probabilité cumulée se calcule en additionnant des valeurs compatibles ou en utilisant l’événement contraire. Vérifie que le résultat reste entre 0 et 1 et compare-le à l’espérance. Traduis auparavant « au moins », « au plus » ou « strictement plus » en une inégalité sur X ; une seule borne mal placée change tous les termes de la somme.

Une simulation produit des réalisations d’un modèle. En Python, un nombre uniforme entre 0 et 1 peut représenter un succès lorsqu’il est inférieur à p. Répéter n fois donne un échantillon ; répéter l’échantillon montre la fluctuation des fréquences.

Annonce la graine si tu veux reproduire une série précise, le nombre de répétitions et la statistique observée. Une simulation illustre ou approche ; elle ne démontre pas une formule exacte.

La moyenne d’échantillon varie naturellement. Son ordre de fluctuation diminue souvent comme $\frac{1}{\text{√n}}$, ce qui explique l’intérêt d’échantillons plus grands. Cette amélioration concerne l’aléa si le protocole est correct.

Un échantillon immense peut rester biaisé si certaines personnes sont exclues, si la question oriente la réponse ou si les non-réponses sont liées au sujet. Augmenter n ne corrige pas automatiquement ces défauts.