Corrélation, régression et causalité en Terminale

Ce que tu vas savoir faire

Lire un nuage avant d’ajuster.
Interpréter pente et résidus.
Utiliser une droite pour interpoler.
Repérer le risque d’extrapolation.
Distinguer corrélation, causalité et variable cachée.

Vérifie tes prérequis

Statistique à deux variables.
Équation de droite.
Moyenne et calcul algébrique.

Le chapitre en bref

Une corrélation décrit une association entre deux variables dans des données. Une droite de régression résume et prédit sous conditions ; elle ne prouve pas qu’agir sur x fera changer y. La causalité exige un mécanisme et une méthode qui écartent les explications concurrentes.

1. Lire le nuage avant le coefficient

Place une variable en abscisse et l’autre en ordonnée. Décris le sens de l’association, sa forme, sa dispersion et les points atypiques. Une relation courbe peut être forte tout en étant mal résumée par une droite.

Le point moyen G(x̄;ȳ) résume le centre du nuage. Toute droite des moindres carrés de y en x passe par G, mais ce fait ne garantit pas un bon ajustement.

Mettre le cours en pratique À ouvrir après avoir compris cette partie

Atelier de méthode

À toi de raisonner

Un nuage forme un U. Pourquoi un coefficient linéaire proche de 0 peut-il tromper ?

Observe les deux branches.
Repère l’absence de tendance linéaire globale.
Distingue absence de droite et absence de relation.
Conclue.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le modèle, le calcul et la limite.

Voir une correction possible

Les tendances décroissante puis croissante peuvent se compenser dans un coefficient linéaire. Une relation non linéaire nette peut donc exister malgré une corrélation linéaire proche de 0.

2. Comprendre la droite des moindres carrés

La droite ŷ=ax+b minimise la somme des carrés des résidus verticaux yᵢ−ŷᵢ. La pente a mesure la variation prédite de y lorsque x augmente d’une unité, dans les unités du problème.

Un résidu positif signifie que la valeur observée est au-dessus de la prédiction. Examine leur dispersion : une structure dans les résidus signale qu’un modèle linéaire manque une forme.

Mettre le cours en pratique À ouvrir après avoir compris cette partie

Atelier de méthode

À toi de raisonner

Avec ŷ=2x+5, interprète la pente si x est en heures d’étude et y un score sur 100.

Nomme les unités.
Évite un langage causal.
Formule la variation prédite.
Borne au domaine observé.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le modèle, le calcul et la limite.

Voir une correction possible

Dans l’intervalle observé, une heure d’étude supplémentaire est associée dans le modèle à 2 points de score prédits en plus. La droite seule ne prouve pas que forcer une heure supplémentaire cause exactement 2 points.

3. Séparer interpolation et extrapolation

Interpoler consiste à prédire entre des valeurs observées de x. Extrapoler consiste à sortir de cet intervalle. L’extrapolation est plus fragile car la relation peut changer de forme, atteindre une limite ou rencontrer un autre régime.

Annonce la zone des données et un indicateur d’incertitude si disponible. Une droite ne rend pas plausible un score supérieur à 100 ni une grandeur physique négative.

Mettre le cours en pratique À ouvrir après avoir compris cette partie

Atelier de méthode

À toi de raisonner

Une tendance 2018-2024 est prolongée jusqu’en 2050. Quelles vérifications demandes-tu ?

Nomme l’extrapolation.
Cherche ruptures et saturation.
Demande des scénarios ou mécanismes.
Compare à d’autres modèles.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le modèle, le calcul et la limite.

Voir une correction possible

La projection est très loin des données. Il faut tester stabilité du mécanisme, ruptures possibles, bornes physiques ou sociales et comparer plusieurs modèles ou scénarios.

4. Chercher une explication concurrente

Une corrélation peut venir de x qui agit sur y, de y qui agit sur x, d’une variable z qui agit sur les deux, d’un biais de sélection ou du hasard. La droite ne tranche pas entre ces mécanismes.

Pour soutenir une causalité, on utilise selon le contexte une expérience contrôlée, une variation quasi expérimentale, une chronologie précise ou des modèles qui traitent les variables concurrentes. Même alors, la conclusion reste liée au protocole.

Mettre le cours en pratique À ouvrir après avoir compris cette partie

Atelier de méthode

À toi de raisonner

On observe que les élèves dormant davantage ont de meilleurs scores. Donne trois explications et une donnée utile.

Propose sommeil→score.
Propose score ou organisation→sommeil.
Cherche une variable commune.
Ajoute une mesure.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le modèle, le calcul et la limite.

Voir une correction possible

Le sommeil peut aider ; une meilleure organisation peut améliorer sommeil et score ; la santé ou le contexte familial peut influencer les deux. Mesurer ces variables, suivre la chronologie ou exploiter une intervention aide à départager les hypothèses.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Décris sens, forme, dispersion et points atypiques.
La droite des moindres carrés minimise les résidus verticaux au carré.
La pente conserve les unités y par unité x.
Interpolation et extrapolation n’ont pas le même risque.
Corrélation ne prouve pas causalité.
Variable cachée, causalité inverse et sélection sont des explications concurrentes.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Que regarder avant une régression ? Le nuage de points Seulement le titre Aucune unité

2. Par quel point passe la droite des moindres carrés ? Le point moyen Toujours l’origine Le point maximal

3. Que mesure un résidu ? Observation moins prédiction La valeur de x seule La pente

4. Une pente de 2 prouve-t-elle un effet causal de 2 ? Non Oui Toujours si n>10

5. Qu’est-ce qu’une interpolation ? Une prédiction dans l’intervalle observé Une prédiction très loin des données Une preuve causale

6. Pourquoi l’extrapolation est-elle fragile ? La relation peut changer hors du domaine La droite n’a plus d’équation x n’est plus un nombre

7. Quel rôle peut jouer une variable z ? Influencer x et y et créer une association Supprimer toutes les données Prouver automatiquement x→y

8. Une corrélation linéaire nulle exclut-elle toute relation ? Non Oui Seulement avec trois points

Réviser au bon moment

Révèle chaque réponse, puis indique la difficulté de ton rappel pour programmer la prochaine révision dans ce navigateur.