Courbe de Lorenz et indice de Gini en Terminale

Ce que tu vas savoir faire

Ordonner et cumuler des données.
Construire une courbe de Lorenz.
Interpréter un point sans le lire à l’envers.
Calculer un indice de Gini par aires.
Distinguer inégalité, niveau et causalité.

Vérifie tes prérequis

Pourcentages et fréquences cumulées.
Coordonnées et lecture graphique.
Aire d’un trapèze et intégrale simple.

Le chapitre en bref

La courbe de Lorenz compare part cumulée de population et part cumulée d’une grandeur. La bissectrice représente l’égalité parfaite. L’indice de Gini mesure l’aire d’écart à cette bissectrice, mais n’explique ni les causes ni le niveau de vie.

1. Ordonner avant de cumuler

Classe les individus ou groupes de la plus petite à la plus grande valeur de la grandeur étudiée. L’abscisse cumule la part de population ; l’ordonnée cumule la part du revenu, du patrimoine ou d’une autre grandeur. Les deux axes vont de 0 à 1.

Une courbe de Lorenz dépend d’une population, d’une grandeur, d’une période et d’une convention. Comparer des courbes exige des définitions compatibles.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

Avec les parts 5 %, 20 %, 30 %, 45 % pour quatre groupes égaux, donne les points cumulés.

Vérifie l’ordre.
Cumule les parts.
Associe les cumuls de population.
Ajoute l’origine.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit expliciter les deux axes et limiter la conclusion.

Voir une correction possible

Les points sont (0;0), (0,25;0,05), (0,5;0,25), (0,75;0,55) et (1;1).

2. Mesurer l’écart à l’égalité

La bissectrice y=x représente une répartition parfaitement égale. Une courbe de Lorenz réelle se situe sous cette droite dans le cadre usuel. Plus elle s’en éloigne, plus la grandeur est concentrée.

Deux courbes peuvent se croiser. Dans ce cas, aucune ne domine l’autre à tous les niveaux de population ; un seul jugement global demande un indicateur supplémentaire et perd de l’information.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

Une courbe passe par (0,8;0,6). Formule une lecture correcte et une lecture interdite.

Nomme la population cumulée.
Nomme la grandeur cumulée.
Évite une conclusion causale.
Évite de parler d’un individu moyen.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit expliciter les deux axes et limiter la conclusion.

Voir une correction possible

Lecture correcte : les 80 % les moins dotés reçoivent 60 % du total. Lecture interdite : « chaque personne des 80 % reçoit 60 % » ou « une politique précise cause cet écart ».

3. Transformer l’écart en indice de Gini

Si L est la courbe de Lorenz, l’aire sous la bissectrice vaut 1/2. L’indice de Gini vaut deux fois l’aire entre la bissectrice et L, donc G=1−2∫₀¹L(x)dx. Avec des points, on approche l’intégrale par des trapèzes.

G vaut 0 pour l’égalité parfaite et se rapproche de 1 pour une concentration extrême. L’arrondi et le regroupement influencent le résultat. Pour comparer deux populations, vérifie que la variable, l’unité, la date et la méthode de regroupement sont compatibles ; un même indice peut masquer des répartitions différentes.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

Si l’aire sous une courbe de Lorenz vaut 0,41, calcule G et interprète.

Utilise G=1−2A.
Calcule.
Vérifie l’intervalle [0;1].
Borne l’interprétation.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit expliciter les deux axes et limiter la conclusion.

Voir une correction possible

G=1−0,82=0,18. L’indice traduit une répartition proche de l’égalité dans la population et pour la grandeur étudiées ; il n’en donne pas la cause.

4. Comparer sans raconter plus que les données

Un Gini plus élevé signale une répartition plus inégale de la grandeur mesurée, toutes définitions comparables. Il ne dit pas si le revenu moyen est plus haut, si la pauvreté recule ou si tous les groupes ont gagné.

Pour une comparaison, vérifie la source, l’année, l’unité statistique, le revenu avant ou après redistribution et le traitement des valeurs nulles ou négatives.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

Deux séries ont le même Gini mais des courbes qui se croisent. Les répartitions sont-elles identiques ?

Rappelle que Gini est une aire.
Imagine plusieurs formes de même aire.
Distingue indice et courbe.
Conclue.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit expliciter les deux axes et limiter la conclusion.

Voir une correction possible

Non. Deux courbes différentes peuvent avoir la même aire sous elles et donc le même Gini. Il faut conserver les courbes, les quantiles ou d’autres indicateurs.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Lorenz cumule population en abscisse et grandeur en ordonnée.
La bissectrice y=x représente l’égalité parfaite.
Un point se lit pour les x % les moins dotés.
G=1−2 fois l’aire sous la courbe de Lorenz.
Même Gini ne signifie pas même distribution.
Inégalité, niveau moyen et causalité sont trois questions différentes.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Que représente l’abscisse d’une courbe de Lorenz ? La part cumulée de population Le revenu d’une personne Le taux de croissance

2. Que signifie (0,5;0,25) ? Les 50 % les moins dotés reçoivent 25 % du total Chaque personne reçoit 25 % 25 % des personnes reçoivent 50 %

3. Quelle droite représente l’égalité parfaite ? y=x y=0 x=1

4. Si l’aire sous Lorenz vaut 0,5, combien vaut G ? 0 0,5 1

5. Un Gini plus faible prouve-t-il un revenu moyen plus élevé ? Non Oui Seulement si G<0,5

6. Deux courbes de même Gini sont-elles identiques ? Pas nécessairement Toujours Seulement si elles se croisent

7. Que vérifier avant une comparaison internationale ? Définitions, année, population et source Seulement la couleur du graphique Aucune convention

8. Une courbe de Lorenz prouve-t-elle une cause politique ? Non Oui Seulement à 50 %

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