Formule de Bayes et probabilités conditionnelles

Ce que tu vas savoir faire

Lire correctement P(B|A) et P(A|B).
Construire un arbre pondéré ou un tableau d'effectifs.
Calculer une probabilité totale.
Appliquer la formule de Bayes.
Interpréter l'effet du taux de base sans transformer une probabilité en certitude.

Vérifie tes prérequis

Probabilités conditionnelles et arbres.
Fractions, pourcentages et effectifs.
Événements contraires.

Le chapitre en bref

Bayes répond à une inversion : on connaît souvent P(observation|cause) et l’on cherche P(cause|observation). Il faut combiner le taux de base, la vraisemblance de l’observation sous chaque cause et la probabilité totale de l’observation.

1. Lire le sens avant la formule

P(B|A) se lit « probabilité de B sachant A ». La condition A fixe la population de référence. Inverser les lettres change la question : la part de tests positifs parmi les malades n’est pas la part de malades parmi les tests positifs.

Écris chaque probabilité en phrase avant de calculer. Cette traduction révèle souvent l’erreur d’inversion. Sur un arbre, pars toujours de la condition donnée : le premier embranchement fixe la population, le second décrit l’observation à l’intérieur de cette population.

Mettre le cours en pratique À ouvrir après avoir compris cette partie

Atelier de méthode

À toi de raisonner

Traduis P(U|R) si U signifie « venir de l’urne U » et R « tirer une boule rouge ».

Repère ce qui suit la barre.
Fixe la population conditionnelle.
Formule la question.
Compare à P(R|U).

Vérifier la démarche

Ta réponse doit nommer le conditionnement et la population.

Voir une correction possible

P(U|R) est la probabilité que la boule vienne de l’urne U sachant qu’elle est rouge. P(R|U) serait la probabilité de tirer rouge lorsque l’urne U a déjà été choisie.

2. Additionner tous les chemins vers l’observation

Un arbre commence par les causes ou groupes possibles, puis place les probabilités de l’observation dans chaque groupe. La probabilité d’un chemin est un produit ; la probabilité totale d’une observation est la somme de tous les chemins qui y conduisent.

Un tableau sur un effectif fictif, par exemple 10 000 personnes, fournit le même raisonnement et rend visibles les taux de base.

Mettre le cours en pratique À ouvrir après avoir compris cette partie

Atelier de méthode

À toi de raisonner

Avec 1 % de cas, 80 % de détection et 10 % de faux positifs, calcule P(+).

Calcule le chemin cas et positif.
Calcule le chemin non-cas et positif.
Additionne.
Conserve quatre décimales.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit nommer le conditionnement et la population.

Voir une correction possible

P(+)=0,01×0,80+0,99×0,10=0,008+0,099=0,107.

3. Mettre à jour avec Bayes

La formule P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B) divise le chemin A∩B par la probabilité totale de B. Le numérateur mesure les cas où cause et observation sont réunies ; le dénominateur représente toutes les observations B.

Le résultat est une probabilité a posteriori : elle actualise le taux a priori P(A) après l’observation B. Elle reste conditionnelle aux nombres et au modèle utilisés. Calcule séparément tous les chemins qui produisent B afin de ne pas oublier les observations positives issues de la situation contraire.

Mettre le cours en pratique À ouvrir après avoir compris cette partie

Atelier de méthode

À toi de raisonner

Pour l’exemple à 1 %, 80 % et 10 %, calcule P(cas|+).

Utilise le numérateur 0,008.
Utilise P(+)=0,107.
Divise.
Interprète en pourcentage.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit nommer le conditionnement et la population.

Voir une correction possible

P(cas|+)=0,008/0,107≈0,0748, soit environ 7,5 %. Le faible taux de base explique qu’une majorité de positifs soient ici des faux positifs.

4. Séparer probabilité et décision

Une probabilité a posteriori ne dicte pas seule une action. Une décision dépend aussi des coûts d’erreur, des conséquences, d’autres examens et d’un seuil choisi. En médecine, ce cours illustre un calcul et ne remplace jamais un avis professionnel.

Teste la sensibilité du résultat aux hypothèses : que devient P(A|B) si le taux de base double ? Cette variation aide à repérer les paramètres décisifs.

Mettre le cours en pratique À ouvrir après avoir compris cette partie

Atelier de méthode

À toi de raisonner

Pourquoi ne peut-on annoncer « un positif signifie malade à 90 % » à partir d’une sensibilité de 90 % ?

Traduis la sensibilité.
Identifie la probabilité recherchée.
Liste les données manquantes.
Conclue prudemment.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit nommer le conditionnement et la population.

Voir une correction possible

90 % décrit P(+|D), pas P(D|+). Pour inverser, il faut au moins le taux de base et la probabilité de faux positif. Sans eux, la valeur prédictive ne peut pas être calculée.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

P(B|A) et P(A|B) répondent à deux questions différentes.
Un chemin d’arbre se calcule par produit.
Une observation totale additionne tous ses chemins.
P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B).
Le taux de base peut dominer la valeur a posteriori.
Une probabilité mise à jour n’est ni une certitude ni une décision automatique.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Que signifie P(+|D) ? Probabilité d’un positif parmi D Probabilité de D parmi les positifs Probabilité d’aucun test

2. Comment calcule-t-on un chemin d’arbre ? Par un produit Par une soustraction Par une moyenne non pondérée

3. Comment obtient-on P(+) ? En additionnant tous les chemins vers + En gardant seulement les vrais positifs En prenant la sensibilité

4. Quel est le numérateur de P(D|+) ? P(D∩+) P(+) seul P(non D)

5. Une sensibilité de 90 % donne-t-elle P(D|+)=90 % ? Non Toujours Seulement sans calcul

6. Pourquoi un faible taux de base compte-t-il ? Les faux positifs peuvent être nombreux parmi les positifs Il supprime la formule Il rend P(+) nul

7. Bayes produit quoi ? Une probabilité conditionnelle mise à jour Une certitude Une obligation d’action

8. Quel outil rend le taux de base très visible ? Un tableau d’effectifs Un titre plus long Une couleur de courbe

Réviser au bon moment

Révèle chaque réponse, puis indique la difficulté de ton rappel pour programmer la prochaine révision dans ce navigateur.