Inverser un conditionnement avec la formule de Bayes

$\text{P(B|A)}$ se lit « probabilité de B sachant A ». La condition A fixe la population de référence. Inverser les lettres change la question : la part de tests positifs parmi les malades n’est pas la part de malades parmi les tests positifs.

Écris chaque probabilité en phrase avant de calculer. Cette traduction révèle souvent l’erreur d’inversion. Sur un arbre, pars toujours de la condition donnée : le premier embranchement fixe la population, le second décrit l’observation à l’intérieur de cette population.

Un arbre commence par les causes ou groupes possibles, puis place les probabilités de l’observation dans chaque groupe. La probabilité d’un chemin est un produit ; la probabilité totale d’une observation est la somme de tous les chemins qui y conduisent.

Un tableau sur un effectif fictif, par exemple 10 000 personnes, fournit le même raisonnement et rend visibles les taux de base.

La formule $\text{P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)}$ divise le chemin A∩B par la probabilité totale de B. Le numérateur mesure les cas où cause et observation sont réunies ; le dénominateur représente toutes les observations B.

Le résultat est une probabilité a posteriori : elle actualise le taux a priori $\text{P(A)}$ après l’observation B. Elle reste conditionnelle aux nombres et au modèle utilisés. Calcule séparément tous les chemins qui produisent B afin de ne pas oublier les observations positives issues de la situation contraire.

Une probabilité a posteriori ne dicte pas seule une action. Une décision dépend aussi des coûts d’erreur, des conséquences, d’autres examens et d’un seuil choisi. En médecine, ce cours illustre un calcul et ne remplace jamais un avis professionnel.

Teste la sensibilité du résultat aux hypothèses : que devient $\text{P(A|B)}$ si le taux de base double ? Cette variation aide à repérer les paramètres décisifs.