Calculer une aire avec une intégrale et la contrôler

Découpe $\text{[a;b]}$ en sous-intervalles de largeur Δx. Sur chacun, un rectangle de hauteur minimale donne une somme inférieure et un rectangle de hauteur maximale une somme supérieure pour une fonction croissante positive. Quand le pas diminue, l’encadrement se resserre.

Cette construction donne du sens à l’intégrale : on additionne des contributions f(x)Δx. Le graphique permet d’anticiper le signe et l’ordre de grandeur.

Si f est continue sur $\text{[a;b]}$ et F une primitive de f, alors $\text{∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a)}$. Inverser les bornes change le signe. Ajouter une constante à F ne change pas la différence.

L’unité résulte du produit de celle de f par celle de x. Intégrer une vitesse en km/h par rapport à des heures donne des kilomètres. Avant tout calcul, écris les bornes avec leur unité et vérifie que la primitive dérivée redonne exactement l’intégrande.

Lorsque f est négative, son intégrale compte négativement. Si la courbe traverse l’axe, les contributions peuvent se compenser. L’aire géométrique demande de découper aux zéros et d’additionner des valeurs positives.

Dire « l’aire vaut 0 » alors que deux régions non nulles se compensent confond aire algébrique et surface. Repère donc les intersections avec l’axe avant d’intégrer, trace un croquis sommaire et annonce clairement si tu cherches un bilan signé ou une surface totale.

La valeur moyenne de f sur $\text{[a;b]}$ est $\text{(1/(b−a))∫ₐᵇf(x)dx}$. C’est la hauteur du rectangle de même largeur et de même aire algébrique. Elle conserve l’unité de f.

Une moyenne intégrale ne décrit pas nécessairement une valeur observée à chaque instant. Pour une fonction continue, elle est néanmoins atteinte au moins une fois. Compare toujours cette moyenne aux valeurs minimale et maximale du graphique : si elle sort de cet intervalle, ton intégrale, tes bornes ou ta division sont fausses.