Calculs d’aires et intégrales en Terminale

Ce que tu vas savoir faire

Approcher une aire par des rectangles.
Relier intégrale et primitive.
Distinguer aire algébrique et géométrique.
Calculer une valeur moyenne.
Contrôler signe, unité et ordre de grandeur.

Vérifie tes prérequis

Aires usuelles et lecture graphique.
Dérivation et primitives simples.
Sommes et intervalles.

Le chapitre en bref

L’intégrale additionne des contributions infinitésimales. Pour une fonction continue positive, elle donne l’aire sous la courbe ; si la fonction change de signe, elle produit une aire algébrique. Les rectangles, la primitive et le graphique permettent des contrôles indépendants.

1. Encadrer avant de calculer exactement

Découpe [a;b] en sous-intervalles de largeur Δx. Sur chacun, un rectangle de hauteur minimale donne une somme inférieure et un rectangle de hauteur maximale une somme supérieure pour une fonction croissante positive. Quand le pas diminue, l’encadrement se resserre.

Cette construction donne du sens à l’intégrale : on additionne des contributions f(x)Δx. Le graphique permet d’anticiper le signe et l’ordre de grandeur.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

Recommence avec quatre rectangles de largeur 0,5.

Liste les hauteurs à gauche.
Calcule la somme inférieure.
Calcule la somme supérieure.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le choix, le calcul et la portée de la conclusion.

Voir une correction possible

La somme gauche vaut 1,5 et la somme droite 2,5. L’encadrement [1,5;2,5] est plus serré.

2. Passer de la primitive à l’intégrale

Si f est continue sur [a;b] et F une primitive de f, alors ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a). Inverser les bornes change le signe. Ajouter une constante à F ne change pas la différence.

L’unité résulte du produit de celle de f par celle de x. Intégrer une vitesse en km/h par rapport à des heures donne des kilomètres. Avant tout calcul, écris les bornes avec leur unité et vérifie que la primitive dérivée redonne exactement l’intégrande.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

Calcule ∫₁³(2x+1)dx et contrôle par une aire de trapèze.

Trouve une primitive.
Évalue aux bornes.
Calcule les hauteurs 3 et 7.
Utilise la formule du trapèze.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le choix, le calcul et la portée de la conclusion.

Voir une correction possible

Une primitive est x²+x. La différence vaut 10. Le trapèze a pour aire (3+7)×2/2=10 : les deux méthodes concordent.

3. Distinguer intégrale et aire géométrique

Lorsque f est négative, son intégrale compte négativement. Si la courbe traverse l’axe, les contributions peuvent se compenser. L’aire géométrique demande de découper aux zéros et d’additionner des valeurs positives.

Dire « l’aire vaut 0 » alors que deux régions non nulles se compensent confond aire algébrique et surface. Repère donc les intersections avec l’axe avant d’intégrer, trace un croquis sommaire et annonce clairement si tu cherches un bilan signé ou une surface totale.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

Calcule l’aire entre h(x)=x−2 et l’axe sur [0;3].

Repère le zéro 2.
Calcule l’aire sur [0;2].
Calcule celle sur [2;3].
Additionne.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le choix, le calcul et la portée de la conclusion.

Voir une correction possible

Les deux triangles ont pour aires 2 et 0,5. L’aire géométrique totale vaut 2,5.

4. Interpréter une valeur moyenne

La valeur moyenne de f sur [a;b] est (1/(b−a))∫ₐᵇf(x)dx. C’est la hauteur du rectangle de même largeur et de même aire algébrique. Elle conserve l’unité de f.

Une moyenne intégrale ne décrit pas nécessairement une valeur observée à chaque instant. Pour une fonction continue, elle est néanmoins atteinte au moins une fois. Compare toujours cette moyenne aux valeurs minimale et maximale du graphique : si elle sort de cet intervalle, ton intégrale, tes bornes ou ta division sont fausses.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

La température T(t)=t²+10 est modélisée sur [0;2] h. Calcule sa valeur moyenne.

Intègre T.
Divise par la durée 2.
Conserve l’unité.
Compare à T(0) et T(2).

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le choix, le calcul et la portée de la conclusion.

Voir une correction possible

∫₀²(t²+10)dt=68/3. La moyenne vaut 34/3≈11,33 °C, comprise entre 10 °C et 14 °C.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Les rectangles donnent du sens et un contrôle à l’intégrale.
∫ₐᵇf=F(b)−F(a) si F est une primitive de f.
Inverser les bornes change le signe.
Une aire géométrique exige de traiter les changements de signe.
La valeur moyenne vaut l’intégrale divisée par b−a.
Signe, unité et ordre de grandeur contrôlent le résultat.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Que représente ∫ₐᵇf si f est positive ? L’aire sous la courbe La dérivée en a Toujours f(b)

2. Que vaut ∫ₐᵇf avec une primitive F ? F(b)−F(a) F(a)+F(b) f(b)−f(a)

3. Si f change de signe, l’intégrale est-elle toujours une aire positive ? Non Oui Seulement si a=0

4. Pourquoi réduire la largeur des rectangles ? Pour resserrer l’approximation Pour changer la fonction Pour supprimer les unités

5. Quelle est l’unité de l’intégrale d’une vitesse en km/h sur des heures ? km km/h h/km

6. Comment obtenir la valeur moyenne de f sur [a;b] ? Diviser l’intégrale par b−a Multiplier par b−a Dériver l’intégrale

7. ∫₀²(x−1)dx vaut 0. L’aire géométrique vaut-elle 0 ? Non, elle vaut 1 Oui Elle est négative

8. Quel contrôle est pertinent après un calcul d’aire ? Signe, unité et ordre de grandeur Nombre de décimales seulement Couleur de la courbe

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