Fonction d’une variable : modéliser en Terminale

Ce que tu vas savoir faire

Définir variable, domaine, unités et hypothèses.
Construire une fonction à partir de grandeurs reliées.
Interpréter le signe d'une dérivée et un extremum.
Encadrer une solution par continuité puis l'approcher.
Distinguer résultat mathématique et décision réelle.

Vérifie tes prérequis

Calcul littéral et équations du second degré.
Dérivée d'un polynôme et tableau de variations.
Lecture d'une courbe et d'un intervalle.

Le chapitre en bref

Une fonction devient un modèle seulement après avoir défini la variable, le domaine, les unités et les hypothèses. Son étude permet ensuite de comparer, optimiser ou résoudre, mais la conclusion reste limitée au domaine où la formule est justifiée.

1. Une formule n’est pas encore un modèle

Commence par nommer la grandeur d’entrée, celle de sortie et leurs unités. Le domaine ne se déduit pas seulement de la formule : il vient aussi de la situation. Une longueur doit être positive, un effectif entier et une relation expérimentale peut n’avoir été vérifiée que sur un intervalle.

Écris ensuite les hypothèses. Dire « C(x)=0,02x²−4x+500 » ne précise ni ce que mesure C, ni l’unité de x, ni les coûts omis. Cette étape évite de donner un sens concret à une valeur mathématiquement calculable mais hors contexte.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

Un coût C(x) est validé pour 20≤x≤150 unités. Explique pourquoi calculer C(200) ne suffit pas à prévoir le coût de 200 unités.

Repère l'intervalle de validation.
Distingue calcul possible et interprétation.
Nomme l'information manquante.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le choix, le calcul et la portée de la conclusion.

Voir une correction possible

La formule peut donner un nombre en x=200, mais elle n’est pas validée au-delà de 150. Il faut de nouvelles données ou un nouveau modèle avant d’interpréter C(200).

2. Transformer la dérivée en réponse

La dérivée mesure une variation instantanée du modèle. Son signe indique les intervalles où la grandeur augmente ou diminue. Un zéro de la dérivée n’est candidat à un extremum que si le signe change ou si une autre justification l’établit.

Pour une décision discrète, l’optimum réel peut se situer entre deux entiers. Compare alors les valeurs admissibles voisines. Termine par une phrase qui nomme la grandeur optimisée, la valeur de la variable et l’unité.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

Pour A(x)=x(4−x) sur ]0;4[, détermine la largeur qui maximise l’aire.

Calcule A'(x)=4−2x.
Résous A'(x)=0.
Étudie le signe.
Interprète.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le choix, le calcul et la portée de la conclusion.

Voir une correction possible

A'(x) est positive avant 2 puis négative après 2. L’aire est maximale pour x=2 m ; le rectangle est alors un carré de côté 2 m et d’aire 4 m².

3. Prouver l’existence avant d’approcher

Si une fonction continue prend des valeurs de part et d’autre d’un niveau k, le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu’elle atteint k. La stricte monotonie sur l’intervalle assure ensuite l’unicité. Ces deux idées justifient une recherche numérique.

Le balayage repère un intervalle ; la dichotomie le resserre en divisant successivement l’intervalle par deux. Une valeur affichée par la calculatrice n’est pas une preuve d’existence ni d’unicité.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

Pour f(x)=x² sur [0;3], justifie l’existence et l’unicité de la solution de f(x)=5, puis donne un encadrement au dixième.

Compare f(2) et f(3) à 5.
Utilise la continuité.
Utilise la stricte croissance.
Teste 2,2 et 2,3.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le choix, le calcul et la portée de la conclusion.

Voir une correction possible

f est continue et strictement croissante sur [0;3]. Comme f(2)=4<5<f(3)=9, il existe une unique solution. Or 2,2²=4,84 et 2,3²=5,29, donc 2,2<√5<2,3.

4. Tester ce que la fonction oublie

Un modèle choisit des variables et en écarte d’autres. Après le calcul, demande si les paramètres sont stables, si les données couvrent la zone étudiée et si une extrapolation est raisonnable. Une bonne réponse peut être conditionnelle : « selon ce modèle, si les hypothèses restent valides… ».

Compare si possible une prédiction à une observation non utilisée pour construire la fonction. Un écart systématique signale un mécanisme manquant ; un petit écart isolé ne valide pas pour autant le modèle partout.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

Un modèle de fréquentation ignore les jours fériés. La prédiction est juste sur quatre semaines ordinaires puis fausse pendant les vacances. Que corriges-tu ?

Identifie la variable omise.
Sépare domaine temporel et formule.
Propose une donnée de contrôle.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le choix, le calcul et la portée de la conclusion.

Voir une correction possible

Ajoute une variable ou des catégories décrivant calendrier et vacances, puis teste le modèle sur une période mise à part. La formule initiale reste éventuellement utile pour les semaines ordinaires seulement.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Un modèle précise variable, sortie, unités, domaine et hypothèses.
La dérivée traduit un rythme ; son signe répond aux variations.
Un extremum concret doit appartenir au domaine admissible.
Continuité, monotonie et approximation jouent des rôles différents.
Une extrapolation exige une justification supplémentaire.
La conclusion doit dire ce que le modèle autorise et ce qu’il ne garantit pas.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Avant d’étudier une fonction de coût, que faut-il fixer ? Variable, unités, domaine et hypothèses Seulement sa dérivée Seulement son graphique

2. Pour C'(x)<0 sur [20;60], que peut-on conclure ? C diminue sur [20;60] C est négative C a un minimum en 20

3. Une solution trouvée par calculatrice est-elle automatiquement unique ? Non, il faut une justification Oui, l’écran le prouve Oui si elle a trois décimales

4. Pourquoi x=200 est-il fragile si le modèle est validé jusqu’à 150 ? C’est une extrapolation 200 n’est pas un réel La dérivée n’existe plus

5. Si f est continue, f(1)<0<f(2), que garantit-on ? Au moins une racine entre 1 et 2 Exactement une racine Une racine égale à 1,5

6. Pour une quantité entière et un optimum théorique 12,4, que faire ? Comparer les valeurs admissibles voisines Arrondir toujours à 12 Conserver 12,4 unités

7. Quel énoncé borne correctement une conclusion ? Selon le modèle, sur l’intervalle étudié… La formule prouve la réalité Le graphique garantit toutes les valeurs futures

8. Que faire après avoir construit un modèle ? Le tester sur des données non utilisées Supprimer les unités Éviter toute comparaison

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