Logarithme : histoire, propriétés et calculs en Terminale

Ce que tu vas savoir faire

Définir ln par réciprocité avec l'exponentielle.
Justifier son domaine strictement positif.
Démontrer ln(ab)=ln(a)+ln(b).
Résoudre une équation ou un seuil exponentiel.
Relier tables historiques, aire et fonction moderne.

Vérifie tes prérequis

Fonction exponentielle et ses propriétés.
Équations, inéquations et ordre.
Primitive et aire sous une courbe, au moins intuitivement.

Le chapitre en bref

Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle sur ]0;+∞[. Il transforme les produits en sommes, permet de résoudre des seuils exponentiels et s’interprète aussi comme l’aire algébrique sous la courbe 1/x entre 1 et x.

1. Le logarithme défait l’exponentielle

L’exponentielle réalise une bijection strictement croissante de ℝ vers ]0;+∞[. Sa fonction réciproque est le logarithme népérien : ln(x) est l’unique réel y tel que e⁽y⁾=x. Ainsi ln(e⁽y⁾)=y et e⁽ln x⁾=x pour x>0.

Le domaine n’est pas une convention arbitraire. Comme e⁽y⁾ reste strictement positif, aucun réel ne peut être le logarithme d’un nombre nul ou négatif dans ce cadre.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

Résous ln(3x−2)=0 et vérifie le domaine.

Impose 3x−2>0.
Utilise e⁰=1.
Résous 3x−2=1.
Contrôle la solution.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le choix, le calcul et la portée de la conclusion.

Voir une correction possible

Le domaine impose x>2/3. Comme ln(3x−2)=0 équivaut à 3x−2=1, on obtient x=1, qui appartient bien au domaine.

2. Pourquoi un produit devient une somme

Pour a>0 et b>0, écris a=e⁽u⁾ et b=e⁽v⁾ avec u=ln a et v=ln b. Alors ab=e⁽u+v⁾, donc ln(ab)=u+v=ln a+ln b. Cette preuve repose sur la réciprocité et la propriété de l’exponentielle.

On en déduit ln(a/b)=ln a−ln b, ln(aⁿ)=n ln a pour un entier n, et ln(1/a)=−ln a. Aucune de ces identités n’autorise ln(a+b)=ln a+ln b. Vérifie les conditions a>0 et b>0 avant toute transformation : une identité correcte appliquée hors domaine produit une expression sans sens réel.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

Un élève écrit ln(5+4)=ln5+ln4. Donne un contre-calcul et la règle correcte.

Calcule le membre de gauche sous forme simple.
Compare des valeurs approchées.
Rappelle la règle du produit.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le choix, le calcul et la portée de la conclusion.

Voir une correction possible

ln(9)≈2,197 tandis que ln5+ln4=ln20≈2,996. Le logarithme transforme un produit, pas une somme : ln(ab)=ln a+ln b.

3. Résoudre un seuil sans perdre le sens de l’ordre

La fonction ln est strictement croissante. Pour des nombres positifs, appliquer ln conserve donc le sens d’une inégalité. Si une base q est supérieure à 1, ln q>0 ; si 0<q<1, ln q<0 et diviser par ln q inverse l’inégalité.

Dans une suite, le rang doit être entier. Après avoir obtenu une borne réelle, cherche le premier entier qui satisfait réellement la condition et vérifie le rang précédent.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

Résous 0,8^n≤0,1 pour n entier.

Applique ln aux deux membres positifs.
Repère que ln0,8<0.
Inverse le sens en divisant.
Choisis le premier entier.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le choix, le calcul et la portée de la conclusion.

Voir une correction possible

n ln0,8≤ln0,1. En divisant par ln0,8<0, on obtient n≥ln0,1/ln0,8≈10,32. Le premier entier est 11.

4. Des tables de calcul à l’aire sous 1/x

Avant les calculatrices, les tables logarithmiques remplaçaient multiplications et divisions par additions et soustractions. Cette efficacité explique leur rôle en astronomie, navigation et calcul scientifique. L’histoire montre un besoin et une construction ; elle ne dispense pas de définir la fonction actuelle.

Une autre construction pose ln(x)=∫₁ˣ 1/t dt pour x>0. L’additivité des aires après changement d’échelle conduit à ln(ab)=ln a+ln b. La dérivée vaut alors 1/x. Ces deux points de vue, réciproque et intégral, décrivent la même fonction.

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Atelier de méthode

À toi de raisonner

Explique pourquoi ∫₁^{ab}1/t dt se décompose en ln a+ln b pour a,b>0.

Coupe l'intégrale en 1→a puis a→ab.
Dans la seconde, pose t=au.
Transforme dt et 1/t.
Reconnais l'intégrale de 1 à b.

Vérifier la démarche

Ta réponse doit montrer le choix, le calcul et la portée de la conclusion.

Voir une correction possible

On a ∫₁⁽ab⁾=∫₁⁽a⁾+∫ₐ⁽ab⁾. Avec t=au, dt=a du et (1/t)dt=(1/u)du ; la seconde intégrale devient ∫₁⁽b⁾1/u du. Donc ln(ab)=ln a+ln b.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

ln est la réciproque de l’exponentielle sur ]0;+∞[.
ln(ab)=ln a+ln b pour a,b>0.
ln(a/b)=ln a−ln b et ln(aⁿ)=nln a.
ln est strictement croissante et sa dérivée vaut 1/x.
Un seuil discret se vérifie au rang candidat et au précédent.
Les tables historiques exploitent la transformation des produits en sommes.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Quel est le domaine réel de ln ? ]0;+∞[ ℝ [0;+∞[

2. Que vaut ln(e³) ? 3 e ln3 0

3. Quelle identité est correcte ? ln(ab)=ln a+ln b ln(a+b)=ln a+ln b ln(ab)=ln a×ln b

4. Pourquoi ln(−2) n’existe-t-il pas ici ? Aucune exponentielle réelle ne vaut −2 −2 est trop petit à afficher ln est seulement entier

5. Si 0<q<1, quel est le signe de ln q ? Négatif Positif Nul

6. Après n ln0,8≤ln0,1, que faut-il faire en divisant ? Inverser l’inégalité Conserver automatiquement le sens Supprimer n

7. Que représente ∫₁ˣ1/t dt ? ln x pour x>0 e⁽x⁾ x²

8. À quoi servaient les tables de logarithmes ? À remplacer des produits par des sommes À définir les nombres négatifs À éviter toute approximation

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