Comprendre le logarithme, de l’histoire au calcul

L’exponentielle réalise une bijection strictement croissante de $\text{ℝ}$ vers $\text{]0;+∞[}$. Sa fonction réciproque est le logarithme népérien : ln(x) est l’unique réel y tel que $\text{e⁽y⁾=x}$. Ainsi $\text{ln(e⁽y⁾)=y}$ et e⁽ln $\text{x⁾=x}$ pour $\text{x>0}$.

Le domaine n’est pas une convention arbitraire. Comme e⁽y⁾ reste strictement positif, aucun réel ne peut être le logarithme d’un nombre nul ou négatif dans ce cadre.

Pour $\text{a>0}$ et $\text{b>0}$, écris $\text{a=e⁽u⁾}$ et $\text{b=e⁽v⁾}$ avec $\text{u=ln}$ a et $\text{v=ln}$ b. Alors $\text{ab=e⁽u+v⁾}$, donc $\text{ln(ab)=u+v=ln}$ $\text{a+ln}$ b. Cette preuve repose sur la réciprocité et la propriété de l’exponentielle.

On en déduit $\text{ln(}\frac{a}{b}\text{)=ln}$ $\text{a−ln}$ b, $\text{ln(}{a}^{\mathrm{n}}\text{)=n}$ ln a pour un entier n, et $\text{ln(}\frac{1}{a}\text{)=−ln}$ a. Aucune de ces identités n’autorise $\text{ln(a+b)=ln}$ $\text{a+ln}$ b. Vérifie les conditions $\text{a>0}$ et $\text{b>0}$ avant toute transformation : une identité correcte appliquée hors domaine produit une expression sans sens réel.

La fonction ln est strictement croissante. Pour des nombres positifs, appliquer ln conserve donc le sens d’une inégalité. Si une base q est supérieure à 1, ln $\text{q>0}$ ; si , ln et diviser par ln q inverse l’inégalité.

Dans une suite, le rang doit être entier. Après avoir obtenu une borne réelle, cherche le premier entier qui satisfait réellement la condition et vérifie le rang précédent.

Avant les calculatrices, les tables logarithmiques remplaçaient multiplications et divisions par additions et soustractions. Cette efficacité explique leur rôle en astronomie, navigation et calcul scientifique. L’histoire montre un besoin et une construction ; elle ne dispense pas de définir la fonction actuelle.

Une autre construction pose $\text{ln(x)=∫₁ˣ}$ $\frac{1}{t}$ dt pour $\text{x>0}$. L’additivité des aires après changement d’échelle conduit à $\text{ln(ab)=ln}$ $\text{a+ln}$ b. La dérivée vaut alors $\frac{1}{x}$. Ces deux points de vue, réciproque et intégral, décrivent la même fonction.