Comment choisir la bonne écriture d’un nombre réel ?

Ce que tu vas savoir faire

• Classer un nombre dans le plus petit ensemble parmi ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ.
• Distinguer décimal, rationnel et irrationnel et suivre deux preuves exemplaires.
• Traduire entre phrase, inégalités, intervalle et droite graduée.
• Calculer réunion et intersection de deux intervalles.
• Interpréter une valeur absolue comme une distance et résoudre |x-a| ≤ r.
• Construire un encadrement décimal et choisir un arrondi adapté à la situation.

Avant de commencer

• Comparer des nombres relatifs et des fractions simples.
• Lire une droite graduée.
• Connaitre puissances de 10, racine carrée et inégalités.

1. Quel est le plus petit ensemble qui contient le nombre ?

On utilise ici ℕ = {0, 1, 2, …}, ℤ pour les entiers relatifs, 𝔻 pour les nombres à écriture décimale finie, ℚ pour les quotients p/q d’entiers avec q ≠ 0, et ℝ pour toutes les abscisses de la droite réelle. Ils sont emboîtés : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Un nombre appartient donc souvent à plusieurs ensembles. 5 appartient aux cinq, mais son plus petit ensemble est ℕ ; −3 est dans ℤ ; 0,125 est dans 𝔻 ; 1/3 est dans ℚ sans être dans 𝔻 ; √2 est dans ℝ sans être rationnel. Donne le plus petit ensemble demandé, puis justifie par une écriture ou une preuve.

2. Pourquoi rationnel ne signifie-t-il pas toujours décimal ?

Un nombre décimal s’écrit a/10^n avec a entier et n naturel. Il est donc rationnel. La réciproque est fausse : si 1/3 était décimal, on aurait 1/3 = a/10^n, donc 10^n = 3a. Or aucune puissance de 10 n’est divisible par 3 ; contradiction. Son écriture 0,333… est illimitée et périodique.

Pour √2, supposons √2 = p/q avec p et q entiers premiers entre eux. Alors p² = 2q² : p² est pair, donc p est pair, p = 2k. On obtient q² = 2k², donc q est pair aussi. p et q auraient un facteur commun 2, contradiction. Ainsi √2 est irrationnel. Une calculatrice affiche seulement une approximation finie de ces réels.

3. Comment traduire une même condition sans changer son sens ?

L’intervalle [a ; b] contient les x tels que a ≤ x ≤ b ; ]a ; b[ correspond à a < x < b. Un crochet tourné vers l’intérieur indique une borne incluse, un crochet tourné vers l’extérieur une borne exclue. En notation française, on n’utilise pas les parenthèses pour ouvrir un intervalle.

Les symboles −∞ et +∞ ne sont pas des nombres réels : ils ne sont jamais inclus. On écrit donc ]−∞ ; a], [a ; +∞[ ou ]−∞ ; +∞[ = ℝ. Contrôle chaque extrémité séparément, puis place un point plein pour une borne incluse et un point vide pour une borne exclue.

4. Que conservent l’intersection et la réunion ?

L’intersection A ∩ B contient les nombres présents dans A et dans B : sur la droite, c’est la zone de recouvrement. La réunion A ∪ B contient les nombres présents dans A ou dans B, éventuellement dans les deux. Le mot ou est inclusif en mathématiques.

Commence par dessiner les deux intervalles sur une même droite. Pour l’intersection, garde seulement la superposition et vérifie les bornes ; pour la réunion, colore tout ce qui appartient à au moins un ensemble. Si deux intervalles sont disjoints, leur intersection est ∅ et leur réunion ne devient pas artificiellement l’intervalle qui comblerait le trou.

5. Comment une valeur absolue fabrique-t-elle un intervalle ?

La valeur absolue |a| est la distance entre a et 0 ; elle est toujours positive ou nulle. La distance entre x et a vaut |x−a| : l’ordre de la soustraction ne change pas la distance puisque |x−a| = |a−x|.

Pour r ≥ 0, |x−a| ≤ r signifie que x se trouve à une distance au plus r du centre a. Les extrémités sont a−r et a+r, donc l’ensemble des solutions est [a−r ; a+r]. Réciproquement, pour [u ; v], le centre est (u+v)/2 et le rayon est (v−u)/2. Ce chapitre limite la valeur absolue à cette lecture par distance, conformément au programme.

6. Encadrer, tronquer ou arrondir : quelle garantie donnes-tu ?

Pour encadrer x à 10^−n près, pose k = ⌊x×10^n⌋. Alors k/10^n ≤ x < (k+1)/10^n : l’amplitude vaut exactement 10^−n. Cette méthode fonctionne aussi si x est négatif. Par exemple, avec x = −1,234 et n = 2, on a −1,24 ≤ x < −1,23 ; tronquer vers zéro à −1,23 ne donnerait pas la borne inférieure.

Un arrondi à n décimales choisit le multiple de 10^−n le plus proche ; son erreur absolue est au plus la moitié d’une unité du dernier rang, hors convention particulière sur les égalités. Les chiffres significatifs commencent au premier chiffre non nul et doivent refléter les données et l’usage. Conserve la valeur exacte pendant les calculs, puis annonce approximation, unité et précision au résultat.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

• Ensembles emboîtés.
• Décimal distinct de rationnel.
• Registres équivalents.
• Intersection et réunion.
• Valeur absolue-distance.
• Précision contrôlée.

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Sources et traçabilité

Dernière vérification : 2026-08-09

1. Programme d’enseignement de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique, Ministère de l’Éducation nationale — consulté le 2026-08-09.
2. Annexe — Programme de mathématiques de seconde 2026, Ministère de l’Éducation nationale — consulté le 2026-08-09.
3. Programmes et ressources en mathématiques — voie générale et technologique, Éduscol — consulté le 2026-08-09.
4. Ressources pour la classe de seconde — Notations et raisonnement mathématiques, Ministère de l’Éducation nationale — consulté le 2026-08-09.