Probabilités conditionnelles : lire, calculer et justifier

La notation P₍A₎(B) se lit « probabilité de B sachant A ». Elle ne porte pas sur toute la population de départ : elle ne regarde plus que les cas où A est réalisé. Avant de calculer, reformule la question : « parmi A, quelle part vérifie B ? ». Le mot « parmi » désigne le groupe de référence et fixe le dénominateur.

Si $\text{P(A)}$ est non nulle, P₍A₎(B) = P(A ∩ B) / $\text{P(A)}$. Le numérateur décrit les cas où A et B se réalisent ensemble ; le dénominateur compte ou mesure seulement A. Le calcul ne commence donc pas par une formule : il commence par l’identification précise de la condition.

Un tableau croisé place deux caractères dans des lignes et des colonnes. Chaque cellule intérieure est un effectif correspondant à l’intersection de deux événements. Les marges sont les totaux de lignes et de colonnes. Avant une probabilité conditionnelle, contrôle que les totaux de marges conduisent bien au même effectif total.

Pour calculer P₍A₎(B), cherche d’abord la cellule A ∩ B. Puis cherche dans la marge le total de A. Le même nombre placé dans la cellule peut servir à plusieurs probabilités, mais le résultat change dès que la condition change. C’est pourquoi P₍A₎(B) et P₍B₎(A) sont en général différents.

Dans un arbre pondéré, les branches issues de la racine portent les probabilités des premiers événements. Après un nœud A, les nouvelles branches portent des probabilités conditionnelles : P₍A₎(B), P₍A₎(non B), etc. Les pondérations issues d’un même nœud doivent avoir une somme égale à 1.

Un chemin A puis B représente l’intersection A ∩ B. Sa probabilité se calcule en multipliant les pondérations rencontrées : P(A ∩ B) = $\text{P(A)}$ × P₍A₎(B). Cette multiplication décrit un chemin précis : elle suffit à répondre à la question lorsqu’un seul chemin est demandé.

P(A ∩ B) mesure la part de tous les cas où A et B sont simultanément réalisés. P₍A₎(B) mesure la part de B à l’intérieur de A. P₍B₎(A) mesure la part de A à l’intérieur de B. Les trois écritures peuvent donc utiliser les mêmes événements sans avoir ni le même univers de référence ni la même valeur.

Pour ne pas les confondre, attache une phrase à chaque notation avant le calcul. « A et B » correspond à l’intersection sans condition. « B sachant A » signifie parmi A. « A sachant B » signifie parmi B. Cette traduction en langage ordinaire est un contrôle plus sûr que la simple mémorisation des symboles.

Deux événements A et B sont indépendants lorsque connaître la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre. Lorsque $\text{P(B)}$ est non nulle, cela peut s’écrire P₍B₎(A) = $\text{P(A)}$. Symétriquement, si $\text{P(A)}$ est non nulle, on peut vérifier P₍A₎(B) = $\text{P(B)}$. L’indépendance est une propriété à justifier par le modèle ou à contrôler par un calcul.

Dans un arbre, l’indépendance apparaît lorsque les branches décrivant B gardent la même pondération après A et après non A. Dans un tirage avec remise, retrouver une boule ne change pas la composition de l’urne : les épreuves peuvent être modélisées comme indépendantes. Sans remise, la première issue modifie la composition et il ne faut pas supposer l’indépendance.

Une épreuve de Bernoulli possède deux issues : succès et échec. Pour répéter la même épreuve de manière identique et indépendante, chaque niveau de l’arbre reprend les mêmes deux branches : succès de probabilité p et échec de probabilité 1-p. Le programme demande de construire cet arbre pour n ≤ 4, afin de calculer des probabilités par lecture de chemins.

« Identiques » veut dire que la probabilité p reste la même à chaque épreuve. « Indépendantes » veut dire que le résultat précédent ne modifie pas la loi de la suivante. Avant de dessiner un arbre à plusieurs niveaux, vérifie ces deux hypothèses. Un arbre de Bernoulli ne doit pas être utilisé pour une situation où les probabilités évoluent après chaque tirage.

Choisis le tableau croisé si des effectifs de deux groupes sont donnés et que tu dois répondre à une question commençant par « parmi ». Choisis l’arbre si les événements se succèdent ou si la seconde probabilité dépend du premier résultat. Dans les deux cas, commence par nommer les événements, la condition et le groupe de référence.

Contrôle ensuite le résultat : une probabilité est comprise entre 0 et 1, les branches issues d’un même nœud totalisent 1, et une conditionnelle doit employer le bon dénominateur. Cette méthode répond aux objectifs du chapitre sans étendre artificiellement la question à une autre méthode.