Partir du mécanisme pour choisir le bon modèle

Avant de choisir une formule, écris le passeport de l’évolution : grandeur étudiée, unité, instant initial, unité de temps et pas d’observation. Une suite $u_n$ décrit naturellement des états numérotés n = 0, 1, 2, … : par exemple un stock relevé chaque mois. Une fonction $\text{f(t)}$ convient lorsqu’on représente la quantité à chaque instant t d’un intervalle : par exemple une distance au cours d’une journée. Le choix discret ou continu ne change pas seulement l’écriture, il indique ce que signifie une valeur intermédiaire.

Cherche ensuite l’opération répétée. « On ajoute 15 unités par mois » est une règle additive. « On augmente de 5 % de la valeur actuelle chaque année » est une règle multiplicative : les hausses en unités ne sont pas constantes. Une trajectoire qui augmente puis diminue peut demander une parabole. Ces indices proposent un modèle ; ils ne le prouvent pas. Les données, le contexte et l’intervalle de temps doivent encore être contrôlés.

Une évolution est linéaire quand une même quantité est ajoutée ou retirée pendant chaque unité de temps. Pour des relevés entiers, on écrit souvent $u_n$ = $u_0$ + nr : c’est une suite arithmétique de raison r. Si le temps peut prendre toute valeur d’un intervalle, on écrit $\text{f(t)}$ = b + rt : c’est une fonction affine. Dans les deux cas, r porte une unité : 15 L par heure, $\text{−2}$ °C par jour ou 0,8 km par minute. Son signe indique le sens de l’évolution.

Une droite est donc pertinente lorsque les écarts successifs sont constants dans l’unité choisie. Elle ne convient pas à une hausse de 5 %, car 5 % de 100 et 5 % de 200 ne donnent pas le même ajout. Elle ne convient pas non plus si une capacité maximale, un arrêt programmé ou une variation de rythme intervient. Le modèle doit être annoncé comme une approximation dès que la constance de l’écart n’est pas donnée par la situation.

Une fonction du second degré peut modéliser une grandeur qui évolue avec une courbure régulière : elle augmente puis diminue, ou diminue puis augmente. Sa courbe est une parabole. Lorsque la forme $\text{f(t)}$ = a(t − α)² + β est fournie, le sommet se lit S(α ; β). Si a est négatif, le sommet donne un maximum ; si a est positif, il donne un minimum. Cette écriture est ici une aide de lecture, pas une formule du sommet à mémoriser ni une technique à reconstruire hors du cadre du programme.

Le sommet ne dispense pas de préciser le domaine. Une hauteur modélisée par une parabole n’a du sens que pendant le mouvement considéré ; une surface ne peut pas devenir négative. De même, une parabole ajustée sur quelques observations ne transforme pas un phénomène quelconque en loi exacte. Le modèle est choisi parce qu’il représente un maximum ou un minimum et une courbe compatible avec la situation, pas parce qu’une formule du second degré paraît plus sophistiquée.

Pour repérer quand une fonction du second degré est au-dessus ou au-dessous d’un seuil nul, la forme factorisée est très utile. Avec $\text{f(t)}$ = a(t − r₁)(t − r₂), les valeurs $r_1$ et $r_2$ annulent la fonction : ce sont les instants où la grandeur atteint le seuil. On étudie alors le signe de chaque facteur sur les intervalles délimités par $r_1$ et $r_2$. Cette lecture est suffisante ici : il ne s’agit pas de chercher les racines d’une forme développée par une technique supplémentaire.

Le signe doit ensuite être traduit dans la situation. Si $\text{f(t)}$ représente un bénéfice, $\text{f(t)}$ > 0 signifie bénéfice positif ; si $\text{f(t)}$ représente une altitude au-dessus d’un niveau de référence, $\text{f(t)}$ > 0 signifie au-dessus de ce niveau. La phrase finale doit toujours rappeler l’unité et l’intervalle de temps. Les deux zéros ne sont pas des détails algébriques : ils séparent des périodes qui n’ont pas le même sens concret.

Une évolution est multiplicative lorsqu’à chaque pas on applique le même facteur à la valeur courante. Si une population augmente de 5 % par an, le facteur annuel est 1,05 : on ne lui ajoute pas 5 individus, on la multiplie par 1,05. Pour des années numérotées, une suite géométrique positive s’écrit $u_n$ = $u_0$ × $q^{\mathrm{n}}$, où q est le facteur. Une hausse correspond à q > 1 ; une baisse à 0 < q < 1. La positivité de la quantité est cohérente avec cette écriture.

Quand le temps est continu et que le même mécanisme est retenu à toute échelle, on peut utiliser une fonction de la forme $\text{f(x)}$ = C × a⁽x⁾, pour x ≥ 0 et a > 0. Cette écriture relie les valeurs aux instants intermédiaires, mais elle ne signifie pas que les observations sont devenues certaines. Une croissance exponentielle durable est souvent impossible : capacité limitée, ressources, saisonnalité ou décision humaine peuvent modifier le facteur.

Un taux moyen sur plusieurs périodes n’est pas, en général, la moyenne des pourcentages affichés. Il doit produire le même facteur global. Si une quantité est multipliée par 1,21 en deux ans et que le même taux annuel est supposé, on cherche le facteur annuel q tel que $q^2$ = 1,21. Ici q = 1,1, donc le taux moyen est de 10 % par an. La vérification est essentielle : 1,1 × 1,1 = 1,21. Sans cette vérification, on peut confondre une variation globale avec une variation annuelle.

Pour un seuil exponentiel, on peut calculer des puissances successives et les comparer au seuil. Avec 200 × 1,05ⁿ, pour atteindre 250, on obtient environ 243 au rang 4 et environ 255 au rang 5. Le premier rang qui convient est donc 5. Cet ordre de grandeur est plus honnête qu’une précision artificielle : la date exacte dépend de l’unité de temps choisie et de la stabilité supposée du taux.

Une méthode de choix peut tenir en quatre questions. Premièrement, le temps est-il discret ou continu ? Deuxièmement, la règle est-elle additive, multiplicative, ou la grandeur présente-t-elle un maximum ou un minimum ? Troisièmement, la formule retrouve-t-elle les données de départ et quelques données de contrôle ? Quatrièmement, la valeur demandée reste-t-elle dans un domaine où les hypothèses sont plausibles ? Cette dernière question fait partie du calcul : une formule exacte peut produire une prévision déraisonnable si on l’emploie hors de sa situation.

Par exemple, une fréquentation qui augmente de 200 visiteurs par mois peut être décrite localement par un modèle linéaire. Si la fréquentation augmente de 4 % par mois, un modèle multiplicatif est plus cohérent. Si elle culmine pendant l’été puis diminue, une parabole peut aider sur une période bornée. Mais aucune de ces trois phrases ne justifie une prévision à dix ans sans données supplémentaires. Changement de politique, capacité d’accueil et événements exceptionnels peuvent rompre la règle.