Croiser deux séries de données : que peut‑on conclure ?

Avant tout calcul, écris une phrase complète : quelle population est observée, quelles sont les deux variables et dans quelles unités ? Une colonne « année » et une colonne « empreinte carbone par personne » forment deux variables quantitatives. Une colonne « mode de transport » et une colonne « type de territoire » forment deux variables qualitatives. Cette identification détermine la représentation pertinente.

Un fichier ne prouve pas davantage que ce qu’il mesure. Si les données proviennent d’un échantillon, précise sa constitution. Si elles portent sur plusieurs années, une rupture exceptionnelle peut modifier la tendance. Le bon réflexe est donc : champ, date, unités, source, valeurs manquantes, puis seulement représentation et calcul.

Dans un tableau croisé, chaque cellule intérieure correspond à l’intersection d’une modalité de la première variable et d’une modalité de la seconde. Les totaux de lignes et de colonnes sont des marges. Pour contrôler le tableau, additionne les cellules d’une ligne puis d’une colonne : leurs totaux généraux doivent coïncider. Une cellule n’est jamais un pourcentage tant qu’aucun dénominateur n’a été choisi.

Supposons 200 réponses : 80 élèves utilisent surtout le bus, dont 50 habitent un territoire urbain et 30 un territoire rural ; 120 utilisent un autre mode, dont 90 en urbain et 30 en rural. Parmi les usagers du bus, la part urbaine vaut $\frac{50}{80}$, tandis que parmi les élèves urbains la part utilisant le bus vaut $\frac{50}{140}$. Les deux questions n’ont pas le même dénominateur.

Pour deux variables quantitatives x et y observées sur les mêmes unités statistiques, chaque couple (x ; y) devient un point. L’axe horizontal porte x et l’axe vertical porte y. Indique les unités, choisis des graduations régulières et ne masque pas une origine tronquée. Un tableur permet de sélectionner les deux colonnes puis d’insérer un nuage de points, et non un diagramme en barres.

Décris avant d’expliquer : sens général, dispersion, forme et éventuels points isolés. « Quand x augmente, y tend à augmenter dans ce fichier » décrit une association positive. Cette phrase ne dit pas que x cause y. Une cause commune, une sélection particulière ou une relation inverse peuvent produire le même dessin.

Pour n couples (xᵢ ; yᵢ), le point moyen G a pour coordonnées les moyennes des abscisses et des ordonnées : $\text{G(x̄;ȳ)}$. Il résume le centre du nuage mais pas sa dispersion ni sa forme. Deux nuages très différents peuvent donc avoir le même point moyen. Le calcul doit conserver les unités de x et de y.

Avec les quatre couples précédents, la moyenne des x vaut $\text{(1+2+3+4)/4}$ = 2,5 et celle des y vaut $\text{(2+3+5+5)/4}$ = 3,75. Le point G(2,5 ; 3,75) appartient au rectangle des valeurs observées. Il ne correspond pas nécessairement à une observation réelle.

Lorsque le nuage présente une tendance approximativement rectiligne, on peut choisir une droite d’ajustement y = $\text{ax+b}$. Le programme n’exige pas la théorie des moindres carrés. Une droite au jugé, la droite de Mayer ou un calcul proposé par le tableur peuvent convenir si la méthode est annoncée. L’objectif est d’obtenir un modèle simple et de contrôler s’il suit raisonnablement le nuage.

Une droite d’ajustement ne passe pas par chaque point. Si elle passait systématiquement au-dessus d’une moitié du nuage et au-dessous de l’autre, son équilibre serait douteux. Le point moyen fournit un repère utile. Une fois l’équation obtenue, remplacer x par une valeur donne une estimation de y, à arrondir avec une précision cohérente avec les données.

Activité tableur à reproduire : saisir les couples (1 ; 4), (2 ; 5), (3 ; 7), (4 ; 8), créer un nuage sans relier les points, afficher le point moyen G(2,5 ; 6), puis obtenir une droite d’ajustement en notant la méthode choisie. Comparer enfin les valeurs prévues aux quatre valeurs observées. L’élève doit pouvoir montrer le graphique, l’équation et une phrase de contrôle, pas seulement copier un résultat automatique.

Interpoler consiste à estimer entre des valeurs de x déjà observées. Extrapoler consiste à prolonger le modèle hors de cet intervalle. Dans les deux cas, le calcul peut être exact alors que la prévision reste incertaine. Une extrapolation ajoute une hypothèse forte : le mécanisme et la forme de la tendance continueront au-delà des données.

Avant d’extrapoler, indique l’intervalle observé, la distance jusqu’à la valeur demandée et les raisons possibles d’une rupture : saturation, seuil réglementaire, changement technique, crise ou simple variabilité. Pour un x très éloigné, une droite peut produire une valeur impossible, par exemple une proportion supérieure à 100 %. Ce contrôle de vraisemblance est mathématique et critique.