Proportionnalité : pourcentages, évolutions et grandeurs composées

Étape 1

Partager selon un ratio : compter les parts avant les objets

À retenir. Pour un partage en ratio, une part vaut le total divisé par la somme des nombres du ratio ; multiplie ensuite cette unité de part.

Étape 2

Reconnaître une proportionnalité, pas seulement une augmentation

Deux grandeurs sont proportionnelles si on obtient toutes les valeurs de la seconde en multipliant celles de la première par un même nombre. Ce coefficient peut avoir une unité : un prix de 3 euros par kilogramme donne un coût de 3 × la masse en kilogrammes. Quand la masse double, le coût double ; pour une masse nulle, le coût est nul dans ce modèle. Une relation qui augmente n'est pas forcément proportionnelle.

Pour contrôler un tableau, calcule les quotients dans le même sens, seulement pour les valeurs non nulles. Dans le tableau ci-dessous, $\frac{6}{2}=3$ et $\frac{15}{5}=3$. Pour ces données, le coefficient est 3 euros par kilogramme. On peut alors additionner les colonnes ou passer par l'unité. Le produit en croix est une conséquence de l'égalité des quotients, pas une permission d'utiliser la proportionnalité dans n'importe quelle situation.

Un transporteur qui facture 4 euros fixes puis 3 euros par kilomètre suit une relation affine : pour x kilomètres, le coût est $3x+4$. Pour 2 km il demande 10 euros ; pour 4 km, 16 euros et non 20. La part fixe empêche le doublement. Vérifie donc le contexte, les quotients et le cas zéro avant de chercher une valeur manquante.

Dans un graphique, une relation proportionnelle se représente par une droite passant par l'origine lorsque les deux axes utilisent des échelles linéaires. Une droite qui ne passe pas par l'origine représente une autre relation. Quelques points alignés peuvent suggérer un modèle ; il faut aussi que l'énoncé justifie de le prolonger. Une consommation observée pendant quelques minutes ne prouve pas qu'elle reste constante toute la journée.

À retenir. Un coefficient constant, une même orientation des quotients et une base de calcul identifiée.

Étape 3

Choisir le tout avant de calculer un pourcentage

Un pourcentage exprime une proportion rapportée à cent. Dire que 18 élèves sur 30 ont choisi une activité revient à calculer $\frac{18}{30}=\mathrm{0,6}$, soit 60 %. Le tout est l'effectif total de 30, pas les 12 élèves restants. Pour trouver une part à partir d'un taux p %, multiplie le tout par $\frac{p}{100}$. Pour retrouver le taux, divise la part par le tout, puis multiplie par 100.

La phrase qui accompagne le nombre est indispensable : 40 % des élèves de la classe et 40 % des membres d'un club n'ont pas nécessairement le même effectif. Les taux ne s'additionnent directement que lorsqu'ils décrivent des parts compatibles du même tout. Dans deux classes d'effectifs différents, la proportion globale se calcule à partir des effectifs additionnés, pas en faisant automatiquement la moyenne des pourcentages.

Une hausse d'un taux de 20 % à 25 % représente 5 points de pourcentage. L'augmentation relative du taux est $\frac{25-20}{20}=\mathrm{0,25}$, soit 25 %. Les deux réponses utilisent les mêmes nombres mais ne décrivent pas la même grandeur. Écris « points » quand tu soustrais deux taux, et « % d'augmentation » quand tu rapportes l'écart à la valeur initiale.

Avant de calculer, fais un contrôle simple : une part comprise entre 0 % et 100 % doit rester entre zéro et le tout. Obtenir 150 élèves dans une classe de 30 avec un taux de 50 % indique une erreur. En revanche, un taux d'évolution peut dépasser 100 % : une quantité peut plus que doubler. La nature du pourcentage décide donc quelles bornes sont pertinentes.

À retenir. Part = tout × taux ; nomme le tout et distingue un écart en points d'une évolution relative.

Étape 4

Passer d'un taux d'évolution à un multiplicateur

Augmenter une quantité V de t % signifie ajouter $\frac{t}{100}\times V$. La valeur finale est donc $V+\frac{t}{100}\times V$, que la distributivité transforme en $(1+\frac{t}{100})\times V$. Le coefficient multiplicateur décrit en une opération la conservation de la valeur initiale et l'ajout. Une hausse de 8 % correspond à 1,08, pas à 0,08 : ce dernier coefficient ne donne que l'augmentation.

Pour une diminution de t %, on conserve la part $1-\frac{t}{100}$ du montant initial. Une remise de 15 % laisse 85 % du prix, soit un multiplicateur de 0,85. Il faut distinguer le montant économisé et le montant à payer. Sur un prix de 60 euros, l'économie est 9 euros et le nouveau prix 51 euros. Ces deux résultats répondent à deux questions différentes.

Pour calculer le taux à partir des valeurs initiale et finale, rapporte la variation à la valeur initiale : $\frac{V\text{\_}f-V\text{\_}i}{V\text{\_}i}$. Un passage de 80 à 92 correspond à $\frac{12}{80}=\mathrm{0,15}$, soit une hausse de 15 %. Le taux peut être négatif ; son signe indique une baisse. Cette formule exige une valeur initiale non nulle et un contexte dans lequel le rapport a un sens.

La vérification par ordre de grandeur évite beaucoup d'erreurs : avec une hausse positive, le multiplicateur dépasse 1 ; avec une remise entre 0 et 100 %, il est compris entre 0 et 1. Écris d'abord le coefficient puis la multiplication, même quand une calculatrice donne directement un pourcentage. Cette ligne courte permet à une autre personne de comprendre ta démarche.

À retenir. Hausse de t % : multiplicateur 1 + t/100. Baisse de t % : 1 − t/100.

Étape 5

Composer et inverser des évolutions

Deux évolutions successives portent sur deux bases différentes. Après une hausse de 20 %, une valeur V devient $\mathrm{1,2}V$. Une baisse suivante de 20 % s'applique à cette nouvelle valeur : $\mathrm{0,8}\times \mathrm{1,2}V=\mathrm{0,96}V$. On ne revient donc pas au départ ; la baisse globale est de 4 %. Ajouter +20 % et −20 % ignore le changement de base.

Pour plusieurs évolutions, multiplie les coefficients dans l'ordre du scénario. Le produit donne le coefficient global. Si le produit vaut 1,155, l'évolution globale est de +15,5 %. Les taux eux-mêmes ne se multiplient pas. Dans un modèle où chaque évolution est un taux fixé sur la valeur courante, permuter les multiplicateurs ne change pas le résultat final ; cela ne permet pas de permuter des frais fixes ou des événements réels dont les conditions changeraient.

Pour retrouver la valeur avant une évolution, résous une multiplication : si $\mathrm{0,75}V=54$, alors $V=\frac{54}{\mathrm{0,75}}=72$. On divise par le coefficient connu. Ajouter 25 % à 54 ne supprime pas une remise de 25 % : le supplément serait calculé sur la mauvaise base. Le coefficient inverse est $\frac{1}{\mathrm{0,75}}$, soit une hausse d'environ 33,33 % dans cet exemple.

Une baisse de 100 % donne zéro et ne peut pas être inversée à partir de la seule valeur finale : toutes les valeurs initiales auraient donné zéro. Annonce les conditions, conserve les valeurs exactes pendant le calcul et arrondis seulement le prix ou la mesure finale à la précision demandée. Pour une somme monétaire, une précision au centime est généralement pertinente si l'énoncé la demande.

À retenir. On multiplie les coefficients successifs ; pour revenir au départ, on divise par le coefficient non nul.

Étape 6

Utiliser une échelle sans mélanger les unités

À l'échelle 1:25 000, une longueur du dessin vaut la longueur réelle divisée par 25 000, lorsqu'elles sont exprimées dans la même unité. Un centimètre sur la carte représente 25 000 centimètres, soit 250 mètres. L'échelle est un rapport de longueurs sans unité. Elle n'est pas directement un nombre de mètres par centimètre avant conversion.

Pour passer du dessin au réel, multiplie une longueur par le dénominateur de l'échelle puis convertis. Pour passer du réel au dessin, fais l'opération inverse, après avoir choisi une unité commune. Une distance réelle de 1,5 km vaut 150 000 cm ; à 1:25 000, elle occupe $\frac{150000}{25000}=6$ cm. Une réponse de 0,00006 cm proviendrait d'un mélange kilomètres-centimètres.

Une échelle graphique constitue un autre support : si une barre de 2 cm représente 500 m, établis le coefficient 250 m par centimètre du support affiché ou imprimé. Si l'image est redimensionnée, la barre se redimensionne avec elle ; une échelle numérique imprimée peut au contraire devenir trompeuse si on change la taille de la carte. Pour travailler sur écran, utilise donc une échelle graphique ou les données annoncées, pas une mesure au hasard sur ton moniteur.

Un agrandissement de coefficient k multiplie les longueurs par k. Les aires ne sont pas multipliées par k mais par $k^2$, car deux dimensions changent. Les volumes sont multipliés par $k^3$. Le cours de transformations reprend ces propriétés avec les homothéties. Ici, commence par préciser si la question porte sur une distance, une surface ou une capacité.

À retenir. Dans une échelle, compare deux longueurs dans la même unité ; les aires et volumes ne suivent pas le même coefficient.

Étape 7

Comprendre les unités composées par un quotient

Une vitesse moyenne est un quotient : $v=\frac{d}{t}$. La distance d et la durée t doivent être exprimées dans les unités annoncées. Un trajet de 90 km en 1,5 h donne 60 km/h. Cette vitesse moyenne ne signifie pas que le véhicule roulait à 60 km/h à chaque instant ; elle résume l'ensemble du trajet, arrêts inclus selon les bornes choisies.

Pour convertir 72 km/h en $m\text{/}s$, remplace séparément les deux unités : 72 km valent 72 000 m et une heure vaut 3 600 s. Le quotient $\frac{72000}{3600}=20$ donne 20 $m\text{/}s$. Le raccourci « diviser par 3,6 » provient de ce rapport et ne s'utilise que dans ce sens. En sens inverse, multiplie des $m\text{/}s$ par 3,6 pour obtenir des km/h.

Un débit représente un volume par durée : 180 litres en 3 minutes donnent 60 L/min. Pour obtenir des $L\text{/}s$, divise ce débit par 60, car une minute contient 60 secondes. La masse volumique est un quotient masse/volume : 540 g pour 200 ${\mathrm{cm}}^3$ donnent 2,7 $g\text{/}{\mathrm{cm}}^3$ dans un modèle d'objet homogène. Tu retrouves la masse en multipliant la masse volumique par le volume ; vérifie que les unités de volume se simplifient.

Les conversions d'unités composées demandent d'agir sur le numérateur et le dénominateur. Pour des aires et des volumes, convertis aussi les puissances des unités : 1 ${\mathrm{cm}}^3$ vaut ${\left(\mathrm{0,01}\right)}^3$ $m^3$, soit un millionième de $m^3$. Les observations physiques réelles ont une précision limitée ; distingue un résultat exact de modèle et une mesure approximative. Une vitesse très grande ou une masse impossible peut signaler une durée laissée en minutes dans une formule prévue en heures.

À retenir. Lis l'unité comme un quotient. Convertis les deux grandeurs avant de calculer, puis contrôle l'ordre de grandeur.