Transformations et espace : longueurs, aires et volumes

Étape 1

Déplacer une figure : translation, rotation et symétries

Une translation fait glisser chaque point selon une même direction, un même sens et une même longueur. Dans un repère à axes perpendiculaires et graduations communes, déplacer tous les points de 4 unités vers la droite et de 2 vers le haut transforme (x ; y) en (x + 4 ; y + 2). Les côtés correspondants sont parallèles, les longueurs et les angles sont conservés ; l'aire et le volume d'un objet déplacé restent aussi inchangés.

Une rotation nécessite un centre, un angle et un sens. Pour construire l'image de A par une rotation de centre O, conserve OA, puis reporte l'angle annoncé autour de O dans le sens indiqué. Une rotation de 180° est une symétrie centrale de centre O. Une symétrie axiale se construit avec une droite comme axe : elle retourne l'orientation du motif, alors qu'une translation ou une rotation conserve son orientation dans le plan.

Pour reconnaître une transformation, un seul point ne suffit généralement pas. Vérifie plusieurs couples de points correspondants. Si tous se déplacent selon la même direction, longueur et sens, propose une translation. S'ils tournent autour d'un centre à même angle et même distance au centre, propose une rotation. Ne confonds pas une figure tournée avec une figure agrandie : les deux peuvent avoir des directions de côtés différentes, mais seule l'agrandie change les longueurs.

À retenir. Une translation ou une rotation conserve longueurs, angles et aire ; précise tous ses paramètres.

Étape 2

Agrandir et réduire : le centre et le rapport d'homothétie

Une homothétie de centre O et de rapport k transforme A en un point A′ aligné avec O et A. Pour k positif, A′ est sur la même demi-droite issue de O et $\mathrm{OA}\text{′}=k\times \mathrm{OA}$. Pour k négatif, A′ est de l'autre côté de O et la distance est multipliée par la valeur absolue de k. O reste fixe. Les rapports usuels non nuls produisent des agrandissements ou des réductions ; le rapport zéro écraserait toute la figure sur O et n'est pas utilisé comme transformation de figure ici.

Avec k = 2, toutes les longueurs doublent ; avec k = 0,5, elles sont divisées par deux. Avec k = −2, elles doublent aussi, mais les images passent de l'autre côté du centre. Les angles sont conservés et les côtés correspondants sont parallèles. Une homothétie de rapport −1 est une symétrie centrale. Le centre peut être un sommet de la figure : ce sommet reste alors fixe pendant le changement d'échelle.

Dans un repère dont O est l'origine, une homothétie de centre O multiplie les deux coordonnées par k. Si le centre n'est pas l'origine, ce raccourci n'est plus directement correct : construis les positions par rapport au centre. Une homothétie conserve les alignements et les proportions, mais pas les distances sauf pour les rapports 1 et −1. Utilise donc les distances au centre et les côtés correspondants pour vérifier une construction.

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Vérifie un alignement avec O et deux côtés correspondants ; explique pourquoi le facteur d'aire est 4.

À retenir. Le signe du rapport indique le côté du centre ; sa valeur absolue indique le facteur des longueurs.

Étape 3

Triangles semblables et motifs répétés

Deux triangles sont semblables quand leurs angles correspondants ont les mêmes mesures. Deux égalités d'angles suffisent : les troisièmes angles se déduisent de la somme 180°. Les côtés opposés aux angles égaux se correspondent ; leurs longueurs sont proportionnelles. Pour écrire les rapports sans les inverser, prépare un tableau des sommets associés, puis garde un même sens petit/grand ou grand/petit dans tous les quotients.

Des triangles de côtés 3, 4, 5 et 6, 8, 10 ont un coefficient 2 entre leurs côtés correspondants. Une homothétie donne des triangles semblables, mais deux triangles semblables peuvent aussi être placés autrement, après un déplacement ou un retournement. La similitude compare la forme et les proportions ; elle ne dit pas que les points sont alignés avec un centre commun dans leur position actuelle.

Une frise répète un motif le long d'une direction : décris la translation qui mène d'un motif au suivant, et les éventuelles symétries ou rotations internes. Une rosace à six motifs peut se construire par répétition d'une rotation de 60° autour du même centre. Un pavage couvre le plan sans trou ni chevauchement ; il faut vérifier que les motifs se raccordent. Un joli dessin ne suffit pas : écris les transformations utilisées et contrôle les bords ou les angles de raccord.

À retenir. Associe les angles puis les côtés ; une répétition se décrit par des transformations précises.

Étape 4

Se repérer dans un solide et sur la Terre

Un point dans l'espace peut être repéré par trois coordonnées : abscisse, ordonnée et altitude dans l'ordre fixé par le repère. Dans une boîte graduée selon trois arêtes perpendiculaires, P(2 ; 3 ; 4) signifie deux unités selon le premier axe, trois selon le deuxième et quatre selon le troisième. Écris l'ordre et les unités ; permuter les coordonnées change généralement le point. Un dessin en perspective ne conserve pas toutes les longueurs et tous les angles visibles.

Pour une représentation terrestre simplifiée, la latitude situe un point au nord ou au sud de l'équateur, entre 0° et 90°. La longitude le situe à l'est ou à l'ouest du méridien de référence de Greenwich, entre 0° et 180°. Les parallèles correspondent à une même latitude ; les méridiens relient les pôles et correspondent à une longitude. Ce sont des angles, pas des kilomètres. Un point de latitude 20° N et longitude 30° E n'est donc pas le point 30° N, 20° E.

Une vue de face, de dessus ou de côté projette un solide dans un plan. Un patron est au contraire une surface dépliée que l'on pourrait refermer. Une section est l'intersection avec un plan de coupe : elle dépend de l'orientation et de la position de ce plan. Pour un cylindre droit, une coupe parallèle à la base est un disque ; une coupe par un plan contenant l'axe forme un rectangle. Lire le mot « section » sans préciser le plan ne permet pas de choisir une forme unique.

À retenir. Annonce l'ordre des coordonnées et la nature de la représentation : perspective, vue, patron ou section.

Étape 5

Passer d’une perspective à trois vues

Pour représenter un pavé droit, fixe d’abord ce que signifient longueur, profondeur et hauteur. Dans le modèle de la figure, ces dimensions sont 6 cm, 4 cm et 3 cm. La face avant conserve la longueur et la hauteur ; la vue de dessus conserve la longueur et la profondeur ; la vue de côté conserve la profondeur et la hauteur. Choisir une vue revient à choisir les deux directions que l’on montre.

La perspective fait voir plusieurs faces à la fois, mais elle ne conserve pas toutes les mesures sur le dessin. Les arêtes cachées sont marquées en pointillés. Pour construire une vue plane, utilise les dimensions données plutôt qu’une mesure à la règle sur l’écran. La face est ici un rectangle 6 sur 3, le dessus un rectangle 6 sur 4 et le côté un rectangle 4 sur 3, avec les mêmes unités.

Prends pour origine le coin avant gauche du bas. Dans l’ordre longueur, profondeur, hauteur, le point M(2 ; 1 ; 3) a pour repères visibles (2 ; 3) de face, (2 ; 1) de dessus et (1 ; 3) de côté. La coordonnée omise n’a pas disparu de l’objet : la projection ne la montre plus. Un autre point de même longueur et de même hauteur peut donc avoir la même image de face tout en étant situé plus loin dans la profondeur.

Pour vérifier trois vues, retrouve les dimensions communes : longueur identique entre face et dessus, hauteur identique entre face et côté, profondeur identique entre dessus et côté. Si ces relations ne sont pas respectées, les vues ne représentent pas le même pavé à la même échelle. Le volume utilise ensuite les trois dimensions : $6\times 4\times 3=72$ ${\mathrm{cm}}^3$. Ce calcul vérifie une grandeur ; il ne suffit pas à vérifier ton tracé.

Un pavé droit et les dimensions de ses vues

Vue	Dimensions en cm	Repères visibles de M(2 ; 1 ; 3)
Face	6 × 3	(2 ; 3)
Dessus	6 × 4	(2 ; 1)
Côté	4 × 3	(1 ; 3)

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Reconstruis les trois vues sur ton cahier. Contrôle les dimensions communes et explique quelle coordonnée chaque vue ne montre pas.

À retenir. Une vue conserve deux directions et masque la troisième ; les dimensions communes rendent plusieurs vues cohérentes.

Étape 6

Déterminer une section en précisant le plan de coupe

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Nomme le plan avant de choisir une formule. Relie le rayon du cylindre, le diamètre et la largeur du rectangle de coupe.

À retenir. Dans un cylindre droit, une coupe parallèle aux bases donne un disque ; une coupe contenant l’axe donne un rectangle de côtés 2r et h.

Étape 7

Vérifier un patron au-delà du nombre de faces

Un patron décrit les faces d’un solide dépliées dans un plan. Pour un cube, il faut six carrés de même côté, mais cette condition n’est pas suffisante. Après pliage, chaque carré doit occuper une face différente, sans recouvrement ni face manquante. Toutes les arêtes communes conservées dans le patron restent attachées.

Dans la disposition P, prends C comme face de départ. Les carrés A, B, D et E peuvent former les quatre faces autour de C. Le carré F prolonge E et vient fermer la face opposée à C. Sur le dessin, tu peux préparer ce raisonnement avec des flèches de pliage et des noms de faces ; un pliage réel, s’il est prévu, suit les consignes de la séance.

La disposition Q possède elle aussi six carrés, mais elle contient des blocs de quatre carrés autour d’un même sommet intérieur. Ces quatre carrés resteraient attachés en ce point, alors que trois faces seulement se rencontrent à un sommet du cube. Sans découper une arête commune, on ne peut pas obtenir six faces distinctes d’un cube. Compter les carrés n’établit donc pas qu’un patron se refermera.

Pour un pavé droit qui n’est pas un cube, vérifie aussi les dimensions. Un pavé 4 cm sur 3 cm sur 2 cm possède deux faces 4 sur 3, deux faces 4 sur 2 et deux faces 3 sur 2. Le long d’une arête commune, les longueurs doivent correspondre. Deux rectangles voisins de mauvaises dimensions ne deviennent pas compatibles parce que le nombre total de faces vaut six.

Sur ton cahier, sépare la préparation, le raisonnement sur les faces et la réalisation matérielle éventuelle. Un calcul d’aire totale ou une réponse au quiz ne montre pas que le patron a été correctement tracé ou refermé. Tu peux expliquer les compatibilités et les obstacles avant toute manipulation.

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Repère les voisins de C dans P, puis le sommet où quatre carrés restent attachés dans Q. Explique pourquoi le seul nombre six ne permet pas de conclure.

À retenir. Un patron recevable doit avoir les bonnes faces, des arêtes communes compatibles et une disposition qui ferme le solide sans recouvrement.

Étape 8

Reconnaître un grand cercle sur une sphère

La sphère est la surface formée par les points situés à une même distance R du centre O. La boule comprend aussi les points intérieurs. Un plan peut couper la sphère selon un cercle ; sa coupe dans la boule est alors un disque. Distingue donc la surface, le solide et le bord de la section.

Quand le plan de coupe passe par O, le cercle obtenu a le même centre et le même rayon R que la sphère. On l’appelle un grand cercle. Quand un plan coupe la sphère selon un cercle sans passer par O, le rayon de ce cercle est plus petit. Le critère décisif est la position du plan, pas l’allure aplatie du cercle dans le dessin en perspective.

Sur le modèle sphérique de la Terre, l’équateur est un grand cercle. Un parallèle situé entre l’équateur et un pôle n’en est pas un : son plan ne passe pas par le centre de la Terre. Un méridien entre les deux pôles est un demi-grand cercle ; avec le méridien opposé, il forme un grand cercle complet. Latitude et longitude servent à situer les points, pas à mesurer le rayon du cercle sur l’image.

Dans les deux schémas, les ellipses représentent en perspective des cercles. Le plan A passe par le centre et le plan B ne passe pas par le centre. Ne cherche pas à décider en mesurant l’ellipse sur l’écran. Si le plan ne rencontre pas la sphère, il n’y a pas de cercle de coupe ; s’il la touche en un seul point, il ne donne pas non plus le cercle étudié ici.

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Utilise la présence ou l’absence du centre dans le plan. Compare ensuite ce critère à l’équateur et à un parallèle situé à 45° nord.

À retenir. Un grand cercle est l’intersection d’une sphère avec un plan passant par son centre ; son rayon est celui de la sphère.

Étape 9

Calculer une aire en identifiant la surface

Une aire mesure une surface, avec une unité carrée. Un rectangle de côtés L et l a une aire $L\times l$ ; un triangle de base b et de hauteur perpendiculaire h a une aire $\frac{b\times h}{2}$. La hauteur n'est pas forcément un côté du triangle : elle est perpendiculaire à la base choisie. Un parallélogramme a pour aire base × hauteur, tandis qu'un disque de rayon r a pour aire $\pi r^2$. Ne remplace pas le rayon par le diamètre sans le diviser par deux.

Pour une surface composée, décompose en pièces qui ne se recouvrent pas, puis additionne leurs aires ; pour une découpe, soustrais la partie retirée. Dans une plaque rectangulaire 8 cm sur 5 cm comportant un trou de rayon 1 cm, l'aire restante vaut $40-\pi$ ${\mathrm{cm}}^2$. Additionner 40 et π compterait le trou comme de la matière supplémentaire. Un schéma annoté aide à décider l'opération avant d'utiliser une formule.

Quand toutes les longueurs d'une figure sont multipliées par k, son aire est multipliée par $k^2$ : chacune des deux dimensions change. Avec un rapport négatif d'homothétie, $k^2$ reste positif. Doubler un rayon multiplie donc l'aire du disque par 4. Cette règle concerne un changement de toutes les longueurs dans les mêmes proportions, pas un rectangle dont seule la largeur doublerait.

À retenir. Identifie la surface et ses dimensions ; une aire s'exprime en unités carrées et change selon $k^2$.

Étape 10

Solides usuels, boule et assemblages

Un volume mesure l'espace occupé par un solide, en unités cubes. Un pavé droit a pour volume longueur × largeur × hauteur ; un prisme droit et un cylindre droit ont pour volume aire de base × hauteur. Pour un cylindre de rayon r et hauteur h, cela donne $\pi r^{2}h$. Un cône ou une pyramide a un volume égal au tiers de celui du cylindre ou du prisme de même base et même hauteur : $\frac{A\text{\_}b\times h}{3}$. La hauteur est perpendiculaire au plan de base.

Une sphère est une surface ; la boule est le solide qu'elle délimite. Le volume d'une boule de rayon r est $\frac{4}{3}\times \pi r^3$. Son aire de surface est $4\pi r^2$. Ces deux formules ne répondent pas à la même question : capacité de remplissage ou surface à recouvrir. Pour une demi-boule, le volume est la moitié du volume de la boule. La surface extérieure courbe est la moitié de la sphère, mais la surface totale du solide fermé inclut aussi le disque de coupe.

Pour un assemblage sans chevauchement, additionne les volumes des parties. Pour une cavité, soustrais son volume à celui du bloc plein. Détermine les limites communes : un cylindre surmonté d'une demi-boule a un rayon commun, mais la hauteur totale du solide dépasse la seule hauteur du cylindre. Écrire toutes les dimensions sur le croquis évite de compter deux fois le rayon ou de prendre la hauteur totale pour la hauteur cylindrique.

À retenir. Le volume correspond au solide ; les formules exigent la bonne base, le rayon et la hauteur perpendiculaire.

Étape 11

Conversions : unités carrées, cubes et capacités

Un centimètre vaut 0,01 mètre. Un carré de 1 cm de côté mesure donc 0,01 m sur 0,01 m : 1 ${\mathrm{cm}}^2$ vaut 0,0001 $m^2$. Un cube de 1 cm de côté mesure 0,01 m dans les trois directions : 1 ${\mathrm{cm}}^3$ vaut 0,000001 $m^3$. Le facteur de conversion des longueurs doit être élevé au carré ou au cube. Utiliser seulement 100 pour convertir des ${\mathrm{cm}}^2$ en $m^2$ confond deux grandeurs.

Les capacités se relient aux volumes : 1 litre vaut 1 ${\mathrm{dm}}^3$ ; 1 mL vaut 1 ${\mathrm{cm}}^3$ ; 1 $m^3$ vaut 1 000 litres. Pour convertir 2,5 $m^3$ en litres, multiplie par 1 000 : 2 500 L. Pour convertir 350 ${\mathrm{cm}}^3$ en litres, utilise 350 mL, soit 0,35 L. Contrôle l'ordre de grandeur : une bouteille d'un litre ne représente pas un mètre cube.

Une grandeur produit comme une énergie en wattheures combine deux unités. Un appareil fictif de puissance constante 40 W utilisé pendant 3 h consomme 120 Wh dans ce modèle. Puisque 1 W = 1 $J\text{/}s$ et 1 h = 3 600 s, 1 Wh = 3 600 J. Ce calcul ne remplace pas les apprentissages de physique ni une mesure réelle ; il montre pourquoi il faut convertir les unités d'un produit et pas seulement déplacer une virgule.

À retenir. Longueur, aire et volume ne partagent pas le même facteur ; 1 L = 1 ${\mathrm{dm}}^3$ et 1 $m^3$ = 1 000 L.

Étape 12

Calculer avec une grandeur-produit et contrôler les unités

À retenir. Convertis les unités avant le produit ou le quotient, puis contrôle la grandeur obtenue : W, Wh, kWh et J ne désignent pas tous une puissance.

Étape 13

Vérifier les effets d'un changement d'échelle

Dans un solide agrandi selon un même facteur k sur toutes les longueurs, le volume est multiplié par $k^3$. Un cube de côté 2 cm contient 8 ${\mathrm{cm}}^3$ ; en triplant son côté, on obtient $6^3$ = 216 ${\mathrm{cm}}^3$, soit 27 fois le volume initial. L'aire totale du cube est multipliée par 9 et chaque longueur par 3. Les trois facteurs décrivent trois questions différentes.

Pour retrouver le facteur de longueur à partir du rapport d'aires, cherche le nombre positif dont le carré égale ce rapport. Si l'aire d'un modèle est multipliée par 25, ses longueurs sont multipliées par 5. Pour un volume multiplié par 8, les longueurs doublent. En troisième, les rapports de cubes simples se contrôlent en essayant des cubes connus ; il n'est pas nécessaire de mémoriser une nouvelle règle de calculatrice sans comprendre les trois dimensions.

La conclusion doit réunir le nombre, la grandeur et l'unité. Une réponse de 24 après un problème de capacité n'indique pas s'il s'agit de ${\mathrm{cm}}^3$, de litres ou de dizaines de litres. Vérifie aussi le modèle : une réduction d'échelle ne suppose pas que l'épaisseur d'une peinture ou le débit d'une pompe suit le même facteur. Les relations $k^2$ et $k^3$ s'appliquent aux dimensions géométriques transformées ensemble.

À retenir. Même changement géométrique : longueurs × |k|, aires × $k^2$, volumes × |k|³.