Objectifs du chapitre
Ce que tu vas savoir faire
- Distinguer image et antécédent, y compris lorsqu'il existe plusieurs antécédents.
- Calculer une image et chercher un antécédent en résolvant une équation simple.
- Relier un tableau, une expression et des points d'un graphique.
- Reconnaître une fonction linéaire ou affine et interpréter ses coefficients.
- Comparer deux modèles en conservant les contraintes du problème.
Pour f(x) = 2x + 1, que représente f(3) ? C'est l'image de 3, soit 7. Chercher le nombre dont l'image vaut 3 est une autre question : on résout 2x + 1 = 3. Si tu les confonds, commence par dessiner une flèche entrée → sortie.
Étape 1
Entrée, image et antécédents : deux sens de lecture
Une fonction est une règle qui associe à chaque nombre d'un ensemble autorisé un seul nombre, son image. L'ensemble autorisé est le domaine du problème. Dans un modèle de coût pour une durée entre 0 et 8 heures, une durée négative ou supérieure à 8 ne représente pas une réservation prévue, même si une expression permet techniquement de faire le calcul.
On écrit f(x) pour l'image de x par la fonction f. Ce n'est pas le produit de la lettre f par x. L'écriture f(3) = 7 signifie que l'entrée 3 donne la sortie 7. On peut dire que 7 est l'image de 3 et que 3 est un antécédent de 7. La première question part d'une entrée connue ; la seconde part d'une sortie recherchée.
Une entrée autorisée n'a qu'une image, mais une même sortie peut provenir de plusieurs entrées. Pour g(x) = , les nombres −2 et 2 ont tous les deux pour image 4. Ainsi, 4 possède deux antécédents sur les nombres réels. Le nombre −1 n'en possède aucun, car un carré réel est toujours positif ou nul. La question doit préciser la fonction et le domaine.
Dans un tableau limité à quelques entrées, on ne voit que les couples présentés. L'absence d'un nombre dans le tableau ne démontre pas qu'il n'a aucun antécédent pour toute la fonction. Pour conclure au-delà du tableau, il faut une règle ou une représentation qui apporte l'information. Sépare donc ce que tu observes dans le support et ce que la définition permet d'établir.
Tableau calculé par Maxdecours, sur les cinq entrées indiquées. Ce n'est pas une mesure expérimentale.
| Entrée x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Image g(x) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Lis l'image de −1 puis les antécédents de 1 présents dans le tableau. Appuie-toi sur la formule si tu veux conclure sur d'autres entrées.
À retenir. Image : partir de l'entrée. Antécédent : chercher les entrées qui donnent une sortie choisie.
Étape 2
Calculer une image, résoudre pour un antécédent
Pour calculer une image à partir d’une formule, remplace chaque x par la valeur de l’entrée puis respecte les priorités. Avec , l’image de 4 est 5. Pour une entrée négative, garde des parenthèses autour de toute l’entrée : elles indiquent exactement ce qui remplace x.
| = | ||
| On remplace x par l’entrée entière −2. | ||
| = | ||
| La multiplication est prioritaire. | ||
| = | ||
| On soustrait 3 au nombre −4. | ||
Conclusion. L’image de −2 est −7 pour cette fonction ; ce n’est pas la recherche d’un antécédent.
Pour chercher un antécédent de 5 par cette même fonction, la sortie est connue : il faut résoudre . Les opérations sur l’équation doivent conserver les solutions. Une fois l’entrée trouvée, recalcule son image et vérifie qu’elle appartient au domaine demandé.
| = | ||
| On remplace f(x) par sa formule. | ||
| = | ||
| On ajoute 3 aux deux membres. | ||
| = | ||
| On divise par 2, qui est non nul. | ||
Conclusion. 4 est l’antécédent de 5 pour cette fonction sur un domaine qui contient 4. Le calcul de f(4) confirme la sortie.
Une formule avec un carré exige de la prudence : g(−2) = = 4. En revanche, l'expression , sans parenthèses autour du nombre négatif, est habituellement l'opposé de , soit −4. Pour une substitution dans , les parenthèses indiquent que l'entrée entière est élevée au carré.
Ne transforme pas une formule en tableau de manière mécanique sans contrôle. Choisis des entrées autorisées, calcule séparément chaque image et vérifie un ou deux résultats par une autre démarche. Pour une fonction affine, la différence des images doit correspondre au coefficient multiplié par la différence des entrées. Ce contrôle n'est pas une preuve de la formule, mais aide à repérer une erreur de calcul.
Exemple résolu · Pas à pas
Une solution algébrique hors du modèle
Une durée x, entre 0 et 8 heures, a pour coût fictif C(x) = 2x + 6 euros. Peut-on obtenir un coût de 4 euros ?
- Chercher un antécédent de 4 revient à résoudre 2x + 6 = 4.
- On obtient 2x = −2, donc x = −1.
- La durée −1 heure n'appartient pas au domaine 0 à 8.
- Il n'existe donc pas de durée autorisée donnant ce coût.
L'équation a une solution sur les nombres réels, mais pas dans le domaine de cette réservation.
À retenir. Une image se calcule ; un antécédent se cherche avec une équation et un contrôle du domaine.
Étape 3
Lire un graphique et connaître la précision du support
Dans un repère de fonction, l'entrée est portée sur l'axe horizontal et l'image sur l'axe vertical. Le point de coordonnées (x ; f(x)) appartient à la représentation. Pour lire l'image de 3, pars de 3 sur l'axe horizontal, rejoins la courbe ou la droite puis lis l'ordonnée. Pour chercher des antécédents de 12, pars de 12 sur l'axe vertical et repère les intersections avec la représentation.
La figure représente deux modèles fictifs, A(x) = 2x + 6 et B(x) = 3x, pour des durées de 0 à 8 heures. Au point de rencontre, les deux images sont égales : x = 6 heures et le coût est 18 euros. Une représentation peut aider à conjecturer cette égalité ; les formules permettent ensuite de la vérifier exactement.
Les graduations et les unités font partie des données. Une unité horizontale n'a pas forcément la même longueur dessinée qu'une unité verticale. Ici, une graduation horizontale correspond à une heure, une graduation verticale à six euros. La pente visible à l'écran dépend aussi des échelles : on ne compare pas deux graphiques de cadres différents en mesurant leur inclinaison.
Une lecture graphique fournit généralement une approximation, sauf lorsque les coordonnées sont explicitement indiquées ou garanties. Si une intersection semble proche de 5,8, cela ne justifie pas une valeur exacte 5,8. Rédige « environ » pour une lecture approchée et utilise une équation quand l'énoncé demande un résultat exact. Le tableau ci-dessous constitue aussi une alternative textuelle au repérage visuel.
Graphique original Maxdecours, construit à partir des formules A(x) = 2x + 6 et B(x) = 3x sur 0 ≤ x ≤ 8. Aucun tarif réel.
| Durée x, en h | 0 | 3 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| A(x), en € | 6 | 12 | 18 | 22 |
| B(x), en € | 0 | 9 | 18 | 24 |
Agrandir l’imageRetrouve les images de 3 et l'antécédent de 18 pour chaque modèle. Vérifie avec les formules, sans mesurer les pixels.
À retenir. Le point (x ; f(x)) relie entrée et image ; les échelles et la précision limitent la lecture.
Étape 4
Reprendre les représentations sur une autre fonction
Un support nouveau permet de vérifier le sens des deux lectures. Ici, la courbe représente une fonction F dont le domaine est l’intervalle de 0 à 4. Les cinq points marqués ont les coordonnées indiquées dans le tableau ; les valeurs de ces points sont des données exactes, pas des mesures de pixels.
Pour une image, repère d’abord l’entrée sur l’axe horizontal. Pour un antécédent, fixe une hauteur sur l’axe vertical et cherche tous les points de la courbe à cette hauteur dans le domaine. Ne t’arrête pas à la première intersection lorsque la courbe descend puis remonte.
La figure n’apporte aucun renseignement sur une entrée extérieure à son domaine. Elle ne permet pas de substituer une règle affine à une courbe qui change de sens de variation. Si tu utilises le tableau comme alternative textuelle, tu peux lire les cinq couples garantis sans avoir à manipuler un point à la souris.
Dans ta réponse, distingue une valeur garantie par un point marqué d’une approximation lue entre les graduations. Décris aussi la variation sur chaque partie : une image peut diminuer quand l’entrée augmente, puis augmenter sur une autre partie du domaine.
Courbe et tableau originaux Maxdecours. Les cinq points marqués sont garantis ; données mathématiques, pas mesures.
| Entrée x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Image F(x) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Agrandir l’imagePour le contrôle, utilise les points garantis, la courbe et le domaine. Le tableau constitue une alternative textuelle complète pour les lectures demandées.
À retenir. Le domaine et le sens de lecture restent nécessaires, même quand la courbe n’est pas une droite.
Étape 5
Fonctions linéaires et affines : donner un sens aux coefficients
Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax. Elle traduit une situation de proportionnalité : l'image est l'entrée multipliée par le coefficient a. Sa représentation est une droite qui passe par l'origine. Pour B(x) = 3x, le coût fictif est proportionnel à la durée, avec trois euros par heure et aucun montant fixe.
Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b. Le nombre b est l'image de 0, appelée ordonnée à l'origine sur le graphique. Le nombre a indique de combien l'image augmente lorsque l'entrée augmente d'une unité. Pour A(x) = 2x + 6, il y a six euros fixes et deux euros supplémentaires par heure. Doubler la durée ne double pas le montant total, car le montant fixe n'est payé qu'une fois.
Une fonction linéaire est donc un cas particulier de fonction affine, avec b = 0. Toutes les fonctions affines ne sont pas proportionnelles. Une droite qui ne passe pas par l'origine représente une fonction affine non linéaire. Le mot « linéaire » a ici ce sens mathématique précis ; le fait de voir une droite ne suffit pas à conclure à la proportionnalité.
Si a est positif, l'image augmente lorsque l'entrée augmente ; si a est négatif, elle diminue ; si a vaut zéro, elle reste constante. Pour h(x) = −3x + 4, une augmentation de x de 2 entraîne une variation de l'image de −6. Sur un intervalle choisi, cette variation permet de comparer des images sans calculer chaque valeur, mais ne prouve rien sur une autre fonction qui ne serait pas affine.
À retenir. Dans ax + b, a décrit la variation par unité et b l'image de 0 ; la proportionnalité exige b = 0.
Étape 6
Comparer deux modèles et construire une conclusion utile
Pour comparer et , commence par leur égalité. Le point de rencontre permet de repérer un changement possible, mais ne dit pas encore quel modèle est inférieur pour les autres entrées. Il faudra ensuite comparer les expressions sur le domaine de 0 à 8 heures.
| = | ||
| On cherche les entrées où les deux coûts sont égaux. | ||
| = | ||
| On soustrait 2x aux deux membres. | ||
Conclusion. Les deux coûts valent 18 € pour x = 6 h, une entrée du domaine autorisé.
Pour décider de part et d’autre, étudie la différence des deux coûts. Si elle est positive, A coûte plus cher ; si elle est négative, A coûte moins cher. Sur le domaine de 0 à 8 heures, la différence sera positive avant 6 heures, nulle à 6 puis négative après. Cette conclusion repose sur l’expression de la différence, pas sur deux lectures isolées.
| = | ||
| On soustrait tout le second coût au premier. | ||
| = | ||
| Les termes en x se réduisent. | ||
Conclusion. Si x < 6, B est moins cher ; si x > 6, A est moins cher. L’égalité se produit à 6 h et la comparaison reste limitée au domaine donné.
Si seules des durées entières sont autorisées, les possibilités sont 0, 1, 2, …, 8. Le modèle A devient strictement moins cher seulement pour 7 et 8 heures. Une solution décimale peut être pertinente pour un modèle continu et impossible pour un nombre d'objets ou une réservation par heures entières. L'unité et la nature de la variable doivent être établies avant de retenir la réponse.
Deux valeurs d'un tableau ne suffisent pas à prouver qu'un modèle convient à toute situation réelle. Les expressions de ce chapitre sont données pour l'exercice. Dans une étude réelle, il faudrait vérifier les conditions d'application, les montants, les seuils et les éventuelles limites. Apprendre à calculer et à comparer ne revient pas à recommander un achat.
Pour rédiger une comparaison, nomme la variable et son domaine, explique le sens de chaque expression, cherche le point d'égalité puis étudie les cas de part et d'autre. Termine par une phrase qui répond à la question. Cette démarche transfère une méthode d'équation vers un choix justifié, au lieu de produire un nombre sans interprétation.
À retenir. Une égalité repère le seuil ; une comparaison et le domaine déterminent les choix possibles.
L’essentiel à retrouver
Ta fiche de révision
- Une entrée autorisée possède une seule image ; une sortie peut avoir plusieurs antécédents ou aucun.
- f(a) se calcule en substituant a ; chercher un antécédent de y revient à résoudre f(x) = y.
- Le domaine élimine les solutions incompatibles avec le problème.
- Sur le graphique, l'entrée est l'abscisse et l'image l'ordonnée.
- Une fonction linéaire ax représente une proportionnalité ; une fonction affine ax + b ajoute une valeur initiale.
- Pour comparer deux modèles, vérifier l'égalité, les cas de part et d'autre et les unités.
Des erreurs à comprendre
Répondre f(5) quand on cherche un antécédent de 5.
Dessine entrée → sortie : c'est la sortie 5 qui est connue, donc résous f(x) = 5.
Oublier les parenthèses pour calculer le carré d'un nombre négatif.
Pour g(x) = , g(−2) = = 4.
Dire qu'une fonction est proportionnelle parce que son graphique est une droite.
Une fonction linéaire passe aussi par l'origine ; un montant fixe non nul donne une fonction affine non proportionnelle.
Conserver une durée négative obtenue par l'équation.
Compare la solution au domaine du problème avant de conclure.
Présenter une lecture graphique comme une valeur exacte non donnée.
Indique la précision du support ou vérifie la valeur avec une expression.
Les activités avec l’abonnement
Passe de l’idée
à la pratique.
L’abonnement ouvre les exercices corrigés, le quiz, les évaluations et les cartes de ce chapitre. Choisis une activité, comprends tes erreurs et retrouve la notion à revoir.
Essaie et corrige
7 exercices et 3 questions de quiz, avec les explications utiles après ta réponse.
Vérifie sans aide
5 activités d’évaluation, distinctes de l’entraînement. Les réponses ouvertes utilisent des critères.
Reviens au bon moment
7 cartes et un bilan retrouvés dans ce navigateur, avec tes échéances de révision.
Choisis ta formule d’abonnement sur la page des offres, où tu retrouveras les tarifs et leurs conditions.
Sources et repères
Édition Maxdecours · Année scolaire 2026-2027 · Vérification documentaire : 2026-10-18.
Attendus de fin d'année de troisième en mathématiques · Éduscol, DGESCO · Organisation et gestion de données, fonctions, p. 4-6 PDF : interpréter et calculer une image, antécédents, fonctions linéaires et affines.
Programme du cycle des approfondissements, BO n° 31 du 30 juillet 2020 · Ministère de l'Éducation nationale · Mathématiques, p. 126-136 PDF : modéliser, représenter et communiquer un raisonnement.
Programmes de français et mathématiques du cycle 4, arrêté du 18 février 2026 · Ministère de l'Éducation nationale · Article 3 : les nouveaux programmes ne s'appliquent à la troisième qu'en 2028-2029.
Les calculs, tableaux et graphiques peuvent être travaillés sur un cahier. La grille aide à relire une comparaison ; une lecture humaine reste nécessaire pour apprécier entièrement le raisonnement rédigé.