Calcul littéral : transformer, factoriser et résoudre

Objectifs du chapitre

Ce que tu vas savoir faire

Réduire et développer sans perdre un signe.
Factoriser par facteur commun ou différence de carrés.
Résoudre une équation du premier degré et une équation-produit.
Traiter $x^{2}$ = a en distinguant les cas et les deux signes.
Prouver une identité et traduire un problème avec ses contraintes.

Ce second chapitre s'appuie sur les fondations déjà travaillées : lettre, signe égal, distributivité et équation du premier degré. Il approfondit les formes utiles pour aller plus loin : facteur commun et différence de carrés, produit nul, puis équations $x^{2}$ = a. Pour x = −2, combien vaut 3x − 5 ? Réponse : −11. Que vaut l'opposé de x − 5 ? −x + 5, car on multiplie toute l'expression par −1. Revois les relatifs ou le chapitre de fondations si tu obtiens −x − 5.

Étape 1

Réduire une expression et prendre son opposé

Une expression contient des nombres, des lettres et des opérations. Sa valeur dépend des nombres remplacés par les lettres ; une identité, au contraire, affirme l'égalité de deux expressions pour toutes les valeurs autorisées. Réduire consiste à regrouper des termes de même nature : 3x + 5x = 8x, mais 3x + 5 ne devient pas 8x. Dans $2 x^{2}$ + 3x − $x^{2}$ + 4x, les carrés se regroupent entre eux et les termes en x entre eux : le résultat est $x^{2}$ + 7x.

Le signe moins devant une parenthèse porte sur tous ses termes. L'opposé de x − 5 est −(x − 5) = −x + 5. Tu peux le justifier en multipliant par −1, puis en distribuant. Un moins ne signifie pas que la valeur finale sera forcément négative : si x = 2, l'opposé de x − 5 vaut 3. La forme littérale indique une opération ; le signe de sa valeur dépend de la substitution.

Pour simplifier 4x − (2x − 3) + 5, retire d'abord la parenthèse : 4x − 2x + 3 + 5. Regroupe ensuite : 2x + 8. Vérifie avec x = −1 : l'expression initiale et la forme réduite donnent toutes deux 6. Ce test aide à repérer un défaut, mais un seul exemple numérique ne prouve pas une identité pour tous les x. La justification vient des règles de calcul appliquées à la lettre.

Exemple résolu · Pas à pas

Éviter le piège du signe

Réduire 5x − (3x + 4) − 2x.

Le moins distribué donne 5x − 3x − 4 − 2x.
Les coefficients de x font 5 − 3 − 2 = 0.
Il reste −4, quelle que soit la valeur de x.

La disparition des x signifie une expression constante, pas une erreur de calcul.

À retenir. Réduis seulement des termes de même nature ; le signe moins change chaque signe dans la parenthèse.

Étape 2

Développer : une ou deux distributivités

Développer transforme un produit en somme. La distributivité s'écrit $a (b + c) = ab + ac$ . Avec 3(2x − 5), le facteur 3 multiplie 2x et −5 : on obtient 6x − 15. Commence par annoncer le facteur et les deux termes ; cela évite de multiplier seulement le premier. Avec un facteur négatif, la même règle s'applique : −2(x − 4) = −2x + 8.

Dans une double distributivité, chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second. Pour (x + 2)(x + 3), les quatre produits sont $x^{2}$ , 3x, 2x et 6 ; la réduction donne $x^{2}$ + 5x + 6. Un tableau à deux lignes et deux colonnes peut sécuriser ce comptage. Le produit x × x donne $x^{2}$ ; il ne devient pas 2x, qui est la somme x + x.

Pour (2x − 3)(x + 4), écris $2 x^{2}$ + 8x − 3x − 12 avant de réduire en $2 x^{2}$ + 5x − 12. Ne raccourcis pas cette étape tant que les signes restent fragiles. Une identité vaut pour les valeurs positives et négatives ; tester x = 0 est utile pour vérifier le terme constant et x = −1 pour détecter certains signes. Les tests complètent la preuve par distributivité, ils ne la remplacent pas.

À retenir. Dans une double distributivité, quatre produits précèdent la réduction.

Étape 3

Factoriser : facteur commun et différence de carrés

Factoriser est l'opération inverse du développement : on écrit une somme sous forme d'un produit. Dans 6x + 9, le facteur commun 3 donne 3(2x + 3). Dans $5 x^{2}$ − 10x, le facteur commun 5x donne 5x(x − 2). Pour vérifier la factorisation, redéveloppe le résultat. On ne divise pas l'équation par x au moment de cette transformation : la forme 5x(x − 2) reste valable aussi pour x = 0.

Une différence de deux carrés possède une factorisation utile : $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . La double distributivité la justifie : $a^{2}$ + ab − ab − $b^{2}$ = $a^{2}$ − $b^{2}$ , car les deux termes croisés s'annulent. Ainsi $x^{2}$ − 16 = $x^{2}$ − $4^{2}$ = (x − 4)(x + 4). Pour $9 x^{2}$ − 25, reconnais ${(3 x)}^{2}$ − $5^{2}$ , donc (3x − 5)(3x + 5).

Cette identité concerne une différence, pas une somme : $x^{2}$ + 16 n'est pas (x − 4)(x + 4), qui donne $x^{2}$ − 16. Ne remplace pas non plus un carré de somme par une somme de carrés : (x + ${3)}^{2}$ = (x + 3)(x + 3) = $x^{2}$ + 6x + 9. Tu peux retrouver cette dernière expression par développement sans mémoriser une formule supplémentaire. Choisis la forme selon le but : calculer, comparer ou résoudre.

À retenir. Cherche d'abord un facteur commun ; reconnais ensuite les deux carrés et vérifie en développant.

Étape 4

Résoudre une équation-produit sans perdre une solution

Une équation demande pour quelles valeurs une égalité est vraie. Pour une équation du premier degré, applique la même opération aux deux membres et vérifie la solution dans l'énoncé initial. Pour 3x − 7 = x + 5, soustrais x, puis ajoute 7 : 2x = 12, donc x = 6. La vérification donne 11 des deux côtés. Toutes les étapes sont équivalentes, car on ne divise que par un nombre non nul.

La propriété du produit nul s'applique quand un membre est zéro : un produit de deux nombres vaut zéro si et seulement si au moins l'un des facteurs vaut zéro. Dans (2x − 6)(x + 4) = 0, on obtient 2x − 6 = 0 ou x + 4 = 0, donc x = 3 ou x = −4. Les deux possibilités forment l'ensemble des solutions. Le mot « ou » n'exige pas que les deux facteurs s'annulent simultanément.

Si l'équation est $x^{2}$ = 5x, ramène d'abord tous les termes du même côté : $x^{2}$ − 5x = 0. Factorise en x(x − 5) = 0 : les solutions sont 0 et 5. Diviser les deux membres par x aurait écarté x = 0 sans justification. Pour (x − 1)(x + 2) = 6, n'applique pas le produit nul directement : le membre droit n'est pas zéro. Commence par transformer correctement l'équation ou choisis une autre méthode adaptée.

À retenir. Un produit nul donne plusieurs équations simples reliées par « ou » ; ne divise pas par une inconnue susceptible d'être nulle.

Étape 5

Résoudre x² = a : distinguer la racine et les solutions

Le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul. Si a < 0, l'équation $x^{2}$ = a n'a donc aucune solution réelle ; si a = 0, elle a la seule solution 0. Pour a > 0, les deux solutions sont $x = \sqrt{a}$ et $x = - \sqrt{a}$ . La racine carrée $\sqrt{a}$ désigne elle-même le nombre non négatif dont le carré vaut a. Elle est unique, alors que l'équation possède deux solutions opposées.

Pour $x^{2}$ = 49, les solutions sont −7 et 7 ; écrire seulement $\sqrt{49}$ = 7 oublierait la valeur négative. Pour $x^{2}$ = 12, conserve les solutions exactes $- \sqrt{12}$ et $\sqrt{12}$ lorsque aucune valeur approchée n'est demandée. Pour une approximation au centième, annonce −3,46 et 3,46, mais ces décimaux ne remplacent pas l'égalité exacte. La calculatrice donne la racine positive ; c'est le raisonnement qui ajoute son opposé.

Dans un problème de longueur, la variable doit être strictement positive : une aire de carré de 49 ${cm}^{2}$ donne une longueur de côté de 7 cm, pas −7 cm. Tu as d'abord résolu une équation avec deux solutions possibles, puis retenu celle compatible avec la géométrie. Distingue ces étapes pour ne pas confondre les contraintes du contexte avec la règle algébrique. Vérifie aussi les unités : l'aire en ${cm}^{2}$ produit une longueur en cm.

À retenir. $\sqrt{a}$ est non négatif ; pour a > 0, $x^{2}$ = a admet deux solutions opposées avant les contraintes du contexte.

Étape 6

Prouver, modéliser et contrôler une réponse

Pour prouver que deux programmes de calcul donnent toujours le même résultat, choisis une lettre pour l'entrée, traduis chaque instruction dans l'ordre puis transforme une expression jusqu'à l'autre. Le programme « ajouter 2 puis multiplier par 3 » donne 3(x + 2) ; « multiplier par 3 puis ajouter 6 » donne 3x + 6. La distributivité prouve leur égalité pour tout x. Deux sorties identiques pour x = 4 ne suffiraient pas.

Dans un problème, commence par définir l'inconnue et son domaine. Un rectangle a une largeur x cm et une longueur x + 3 cm ; si son périmètre est 30 cm, écris 2x + 2(x + 3) = 30, et non x(x + 3) = 30, qui exprimerait une aire. La réduction donne 4x + 6 = 30, puis x = 6. La longueur vaut 9 cm ; elle est positive et le périmètre 2 × 6 + 2 × 9 vaut bien 30 cm.

Un nombre obtenu n'est pas une conclusion complète. Reprends la question, les unités et les contraintes, puis vérifie dans la relation initiale. Si tu trouves un prix négatif, demande-toi si l'équation ou le domaine a été mal choisi, au lieu d'arrondir au hasard. Dans une preuve, une formulation différente est recevable si les transformations sont justifiées et ne s'appuient pas seulement sur des essais numériques. Les grilles ci-dessous portent autant sur ces justifications que sur le résultat.

À retenir. Définis l'inconnue, écris la relation, résous, puis vérifie et réponds dans le contexte.

L’essentiel à retrouver

Ta fiche de révision

Les formes développée et factorisée d’une identité ont les mêmes valeurs.
Un signe moins devant une parenthèse agit sur tous ses termes.
Une différence de carrés se factorise en deux facteurs conjugués.
Ramène un produit à zéro avant d’utiliser la règle du produit nul.
Une équation $x^{2}$ = a distingue les cas a < 0, a = 0 et a > 0.
Une preuve vaut pour tous les nombres autorisés ; des essais ne suffisent pas.

Des erreurs à comprendre

Réduire $x^{2}$ + x en $2 x^{2}$ .

Les termes ne sont pas de même nature. Garde $x^{2}$ + x ou factorise en x(x + 1).

Ne changer que le premier signe après un moins.

Multiplie toute la parenthèse par −1 avant de réduire.

Écrire (x + ${3)}^{2}$ = $x^{2}$ + 9.

Développe les quatre produits : $x^{2}$ + 6x + 9.

Perdre la solution nulle en divisant par x.

Factorise puis utilise le produit nul ; vérifie x = 0 séparément.

Garder une seule solution pour $x^{2}$ = 36.

L’équation admet −6 et 6 ; une longueur impose ensuite le signe positif.

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Sources et repères

Édition Maxdecours · Année scolaire 2026-2027 · Vérification documentaire : 2026-10-20.

Programme du cycle des approfondissements, BO n° 31 du 30 juillet 2020 · Ministère de l'Éducation nationale · Référence disciplinaire applicable, sections utiles consultées en ligne le 3 octobre 2026 ; progression annuelle proposée Maxdecours.

Enseigner au cycle 4 : programmes à la rentrée 2026-2027 · Éduscol, DGESCO · Programme applicable à la troisième en 2026-2027.

Attendus de fin d'année de troisième en mathématiques · Éduscol, DGESCO · Attendus annuels 2019 de troisième, PDF p. 3 : opposé, distributivités, factorisation, différence de carrés, équations du premier degré, produits et x² = a. Consulté le 3 octobre 2026.

Les transformations et les preuves peuvent être rédigées sur papier. Les grilles apprécient la démarche, sans déduire une maîtrise générale d'un seul score.

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