Puissances et racines : calculer, écrire et vérifier

Un exposant négatif ne rend pas automatiquement le nombre négatif. Pour a non nul et n entier strictement positif, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$. Lis donc l’exposant négatif comme un inverse. Le signe éventuel vient de la base et de la parité de la puissance : avec une base positive comme 2, le résultat reste positif ; avec −2 entre parenthèses et un exposant impair, il est négatif.

La condition a non nul est indispensable : diviser par zéro ne donne pas un nombre réel. On ne peut donc pas calculer $0^{-2}$ avec cette définition. Avant de simplifier un quotient ou d'utiliser un inverse, vérifie cette condition. Elle évite d'appliquer une écriture correcte à un calcul qui n'a pas de sens.

Pour les puissances de dix, un exposant négatif décrit des dixièmes, centièmes et fractions plus petites : ${10}^{-1}$ = 0,1 ; ${10}^{-2}$ = 0,01 ; ${10}^{-3}$ = 0,001. Chaque diminution de l'exposant d'une unité divise la valeur par 10. À l'inverse, augmenter l'exposant d'une unité multiplie la valeur par 10.

Une bonne vérification consiste à multiplier une puissance par son inverse. On obtient $2^3$ × $2^{-3}$ = 8 × $\frac{1}{8}$ = 1. Si ton calcul donne −64, tu as probablement lu l'exposant négatif comme un changement de signe ou comme une multiplication. Reviens à la fraction avant toute règle abrégée.

Multiplier deux puissances d'une même base revient à réunir leurs facteurs. Par exemple, $2^3$ × $2^2$ contient trois facteurs 2 puis deux autres : le produit vaut $2^5$. L'exposant du résultat compte les facteurs, donc on additionne les exposants. Pour une base non nulle, la relation $a^m$ × $a^n$ = $a^{m+n}$ reste cohérente avec les exposants négatifs définis par les inverses.

Dans un quotient de puissances de même base non nulle, les facteurs identiques se simplifient. Si le dénominateur contient davantage de facteurs, les facteurs restants restent en bas. La relation $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ résume ce raisonnement ; le dénominateur doit être non nul. Déplie un exemple pour comprendre le signe de la différence des exposants.

Une puissance de puissance répète un produit déjà constitué. Pour une base non nulle et des exposants entiers, ${\left(a^m\right)}^n=a^{m\times n}$. Ne confonds pas cette situation avec le produit de puissances de même base : ici, tu multiplies les exposants ; dans ce produit, tu les additionnes. Déplier un exemple court permet de choisir l’opération sans réciter deux règles interchangeables.

Ces règles ne s'appliquent pas à une somme. $2^3$ + $2^2$ = 8 + 4 = 12, alors que $2^5$ = 32. Elles ne permettent pas non plus d'additionner les exposants de bases différentes : $2^2$ × $3^3$ = 4 × 27 = 108. Identifie donc d'abord l'opération, les bases et les conditions, puis simplifie. Une règle mémorisée sans ces vérifications devient une source d'erreurs.

La notation scientifique d'un nombre non nul est une écriture a × ${10}^n$, où n est un entier et où la valeur absolue du coefficient a est au moins 1 et strictement inférieure à 10. Pour un nombre positif, cela s'écrit 1 ≤ a < 10. Ainsi, 4,5 × ${10}^4$ est normalisée ; 45 × ${10}^3$ représente la même valeur, mais son coefficient n'est pas dans l'intervalle demandé.

Pour écrire 45 000, on choisit le coefficient 4,5 puis on cherche la puissance qui restitue le nombre : 4,5 × ${10}^4$ = 4,5 × 10 000 = 45 000. Pour 0,000045, on choisit encore 4,5, mais ${10}^{-5}$ = 0,00001, d'où 4,5 × ${10}^{-5}$. Reconstruire la valeur évite de décider le signe de l'exposant en déplaçant une virgule sans comprendre le résultat.

Le signe du nombre reste dans le coefficient : −326 000 = −3,26 × ${10}^5$. Le nombre est négatif, mais l'exposant positif décrit une grande valeur absolue. Pour comparer deux nombres positifs en notation scientifique normalisée, compare d'abord les exposants, puis les coefficients si les exposants sont égaux. Pour des nombres négatifs, conserve le raisonnement sur l'ordre et ne compare pas seulement leurs tailles absolues.

Après un calcul ou un arrondi, vérifie à nouveau la normalisation. Si le coefficient est trop petit ou atteint 10, change-le en compensant par la puissance de dix. Le nombre doit rester identique : multiplier le coefficient par 10 impose de diminuer l’exposant d’une unité. Zéro peut s’écrire 0, mais ne possède pas une écriture normalisée dont le coefficient a une valeur absolue entre 1 inclus et 10 exclu.

Dans un produit en notation scientifique, traite séparément les coefficients et les puissances de dix, puis normalise. Les parenthèses indiquent précisément les deux facteurs. Dans un quotient, divise les coefficients et soustrais les exposants d’une même base non nulle. La séparation vient des propriétés du produit et de l’inverse, pas d’un déplacement arbitraire de la virgule.

Pour une somme, ramène les deux termes à une même puissance de dix : tu pourras alors additionner leurs coefficients. Ajouter les coefficients en additionnant aussi les exposants ne conserve pas la somme. Une vérification en écriture usuelle donne ici 35 000 plus 6 000, donc un résultat proche de quarante mille, pas d’un produit de ces nombres.

Les unités font partie du modèle. Dans une situation fictive, une pièce mesure $\mathrm{2,5}\times {10}^{-3}$ m et on en aligne $4\times {10}^2$ sans espace. Le nombre de pièces est sans unité ; le produit conserve donc l’unité mètre. Cette situation fournit un calcul sur des dimensions données, pas une mesure réellement effectuée.

Estime la taille du résultat avant de conclure : 400 pièces d'environ 0,003 m doivent donner une longueur voisine de 1,2 m, donc une réponse exacte de 1 m est plausible. Une réponse de 1 000 m signalerait un problème d'exposant ou d'unité. Cette estimation ne prouve pas le résultat exact ; elle sert de contrôle. Conserve les valeurs exactes dans les étapes et n'arrondis qu'au moment demandé.

Pour encadrer une racine positive, cherche deux carrés qui encadrent le nombre. Les carrés de 6 et de 7 valent 36 et 49 ; 40 se situe entre eux. Pour des nombres positifs ou nuls, comparer les carrés conserve l’ordre des nombres. Le calcul permet donc de rejeter une valeur telle que 20 ou −6 avant de demander un arrondi.

$\sqrt{40}$ est une valeur exacte. Son écriture décimale commence par 6,32455… ; on écrit donc $\sqrt{40}$ ≈ 6,32 pour un arrondi au centième. Le signe ≈ annonce l'approximation. Écrire $\sqrt{40}$ = 6,32 serait faux : ${\mathrm{6,32}}^2$ vaut 39,9424, pas 40. Une valeur exacte avec un radical n'est pas une réponse inachevée lorsque le problème demande de l'exact.

Pour comprendre l'arrondi, compare la racine au milieu entre deux centièmes voisins. Ici, ${\mathrm{6,32}}^2$ < 40 < ${\mathrm{6,33}}^2$ situe la racine entre 6,32 et 6,33. Le milieu est 6,325 et son carré vaut 40,005625, supérieur à 40. On a donc $\sqrt{40}$ < 6,325 : l'arrondi au centième est bien 6,32. Ce contrôle complète celui d'une calculatrice.

Garde les valeurs exactes aussi longtemps que possible. Si une longueur est $\sqrt{40}$ cm et que l'on en prend trois exemplaires, la valeur exacte est $3\sqrt{40}$ cm. Arrondir chaque exemplaire trop tôt peut modifier l'arrondi final de la somme. Lis également la précision demandée : au centième signifie deux chiffres après la virgule ; au millimètre près pour une longueur en centimètres signifie un dixième de centimètre.

Pour a et b positifs ou nuls, on peut justifier le produit des racines à partir de leur définition. Pose $r=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$. Ce produit est positif ou nul. Le but est de vérifier son carré, puis d’utiliser l’unicité de la racine positive ou nulle. Les conditions de signe sont nécessaires à cette conclusion ; des essais numériques seuls ne prouveraient pas la propriété.

La relation précédente permet de repérer un facteur carré dans 72. Ce calcul est un approfondissement utile ; conserver $\sqrt{72}$ est une réponse exacte si aucune forme simplifiée n’est demandée. La notation $6\sqrt{2}$ désigne le produit de 6 par la racine de 2. Pour contrôler, son carré vaut 72 et le résultat est positif.

Il n'existe pas de règle analogue pour une somme. Un contre-exemple suffit à réfuter l'affirmation générale $\sqrt{a+b}$ = $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ : avec a = 9 et b = 16, le membre de gauche vaut $\sqrt{25}$ = 5, tandis que celui de droite vaut 3 + 4 = 7. Le choix de carrés parfaits permet de faire la vérification sans approximation.

Enfin, $\sqrt{x^2}$ donne la valeur absolue de x : la racine est toujours positive ou nulle. Avec x = −3, $\sqrt{(}{(-3)}^2)$ = $\sqrt{9}$ = 3, pas −3. Pour x positif ou nul, on retrouve x ; pour x négatif, on retrouve son opposé. Lorsqu'un raisonnement utilise le raccourci $\sqrt{x^2}$ = x, il doit donc préciser la condition x positif ou nul.