Comment lire les ensembles et construire un raisonnement logique ?

Un élément est un objet ; un ensemble rassemble des objets. On écrit 3∈{1,2,3,4}, car 3 est un élément. On écrit {2,4}⊂{1,2,3,4}, car chaque élément du premier ensemble appartient au second. Écrire 3⊂E ou {2,4}∈E change la nature de la relation et demande une justification particulière.

L’ensemble vide ∅ ne contient aucun élément et il est inclus dans tout ensemble. Si A et B sont deux ensembles, leur produit cartésien $\text{A×B}$ est l’ensemble des couples ordonnés (a,b) avec a∈A et b∈B. L’ordre compte : $\text{A×B}$ n’est pas en général égal à $\text{B×A}$.

La réunion A∪B contient les éléments qui appartiennent à A ou à B, y compris ceux qui appartiennent aux deux. L’intersection A∩B ne conserve que les éléments communs. Le complémentaire de A dans un univers E contient les éléments de E qui ne sont pas dans A.

Toujours annoncer l’univers avant de parler de complémentaire : le complémentaire des nombres pairs dans $\text{ℤ}$ est l’ensemble des impairs, mais dans $\text{ℝ}$ il contient aussi tous les réels non entiers. Les intervalles de $\text{ℝ}$ et les ensembles de solutions utilisent exactement cette grammaire.

Une proposition est une phrase à laquelle on peut attribuer vrai ou faux. « 7 est premier » est une proposition vraie. « $\text{x+1>x}$ » est une phrase ouverte tant que le domaine et la portée de x ne sont pas fixés ; elle devient vraie si l’on affirme qu’elle vaut pour tout réel x.

La négation échange vrai et faux. La proposition P et Q est vraie seulement si les deux propositions le sont. La proposition P ou Q utilise le ou inclusif : elle est vraie si au moins l’une des deux l’est, y compris lorsque les deux le sont.

L’implication $\text{P⇒Q}$ affirme que chaque situation où P est vraie vérifie aussi Q. Sa réciproque est $\text{Q⇒P}$ : elle peut être fausse. « Multiple de 4 ⇒ pair » est vraie, mais « pair ⇒ multiple de 4 » est réfutée par 6.

La contraposée de $\text{P⇒Q}$ est « non Q ⇒ non P » ; elle a la même valeur logique que l’implication. Une équivalence $\text{P⇔Q}$ exige les deux sens. Pour établir une équivalence, il faut donc démontrer l’implication et sa réciproque, ou une chaîne d’équivalences justifiées.

Pour prouver « pour tout x, $\text{P(x)}$ », un seul exemple ne suffit pas : le raisonnement doit couvrir chaque objet du domaine. Pour réfuter cette phrase, un contre-exemple précis suffit. À l’inverse, pour prouver « il existe x tel que $\text{P(x)}$ », il suffit de fournir un témoin et de le vérifier.

Nier « tous vérifient P » revient à affirmer qu’il existe au moins un objet qui ne vérifie pas P. Nier « il existe un objet vérifiant P » revient à affirmer qu’aucun objet ne le vérifie. Le programme demande de lire et d’écrire ces formulations en mots ; les symboles ∀ et ∃ ne sont pas exigibles.

Commence par traduire le but. Pour montrer que $\text{n+(n+1)}$ est impair, le calcul direct donne $\text{2n+1}$ : la forme attendue apparaît immédiatement. Une disjonction de cas est utile lorsque l’hypothèse sépare réellement les situations ; par exemple, selon la parité de n, l’un des entiers n et $\text{n+1}$ est pair, donc leur produit est pair.

La contraposée simplifie parfois une implication. Le raisonnement par l’absurde suppose la négation du résultat et en déduit une contradiction : s’il existait un plus grand entier M, alors $\text{M+1}$ serait un entier strictement plus grand. Une preuve doit nommer ses hypothèses, couvrir tous les cas et conclure exactement sur le but annoncé.