Taux de variation moyen | Terminale SES

Ce que tu vas savoir faire

Distinguer dates observées et nombre de périodes.
Passer du taux global au coefficient multiplicateur global.
Distinguer moyenne arithmétique et taux composé.
Calculer le taux moyen par la racine n-ième.
Vérifier le résultat par recomposition.
Interpréter le rythme moyen sans effacer les fluctuations.

Avant de commencer

Calculer un taux de variation.
Passer d'un taux à un coefficient multiplicateur.
Utiliser une puissance et une racine.

Le chapitre en bref

Entre une valeur initiale Vi et une valeur finale Vf séparées par n périodes, le coefficient multiplicateur global vaut Vf/Vi. Le taux de variation moyen t est le taux constant qui, composé n fois, reconstitue ce coefficient : (1+t)^n = Vf/Vi, donc t = (Vf/Vi)^(1/n) − 1. On multiplie par 100 pour l'exprimer en pourcentage. De 2018 à 2024, il y a six périodes annuelles, pas sept. La moyenne arithmétique des taux annuels n'est généralement pas le taux composé, car les variations s'appliquent à des bases successives. Le taux moyen décrit un rythme constant équivalent entre les extrémités ; il ne décrit ni chaque année ni la volatilité du parcours.

1. Combien de périodes faut-il compter ?

Entre 2018 et 2024, six intervalles annuels s'écoulent : 2018→2019, puis cinq autres jusqu'à 2024. Sept dates donnent six périodes.

L'exposant n correspond au nombre de compositions du taux. Une erreur sur n change la racine et donc tout le résultat.

Compte les intervalles, pas les dates

Dates ou repères7

Périodes6

Exposant n6

Sept observations annuelles délimitent six intervalles de variation.

2. Quel changement faut-il d'abord résumer ?

De 100 à 150, le taux global vaut (150−100)/100 = 50 % et le coefficient global 150/100 = 1,5. Ce sont deux écritures du même changement total.

Le taux moyen cherche le coefficient par période dont la puissance n-ième vaut 1,5.

Passe des valeurs au changement global

Valeur initiale 100Valeur finale 150

Taux global+50 %

Coefficient global1,5

Le taux moyen cherchera le coefficient par période dont la puissance vaut 1,5.

3. Pourquoi ne pas moyenner les taux annuels ?

Une hausse de 20 % puis une baisse de 20 % donne 1,2 × 0,8 = 0,96 : la valeur finale baisse de 4 %, alors que la moyenne arithmétique des deux taux vaut 0 %.

Le taux composé utilise la moyenne géométrique des coefficients, car chaque variation s'applique à une nouvelle base.

Deux taux, deux moyennes

Moyenne arithmétique0 %

Coefficient composé0,96

Taux moyen composé−2,02 %

La moyenne arithmétique vaut 0 %, mais le rythme constant équivalent est négatif.

4. Comment calculer la racine n-ième ?

La formule est t = (Vf/Vi)^(1/n) − 1. Pour 100 → 150 en 5 ans, t ≈ 1,5^(1/5) − 1 ≈ 0,0845, soit 8,45 % par an.

L'arrondi intervient à la fin. Arrondir le coefficient ou la racine trop tôt peut déformer la recomposition.

Calcule la racine n-ième

Vi

Vf

n

t = (150 / 100)^1/5 − 1

Coefficient moyen1,0845

Taux moyen8,45 %

Un rythme constant de 8,45 % pendant cinq périodes fait passer 100 à 150.

5. Comment vérifier le résultat ?

On recompose : 100 × (1 + 0,0845)^5 ≈ 150. Si la valeur finale ne revient pas, vérifier n, l'écriture décimale et l'ordre des valeurs.

Cette vérification donne aussi le sens du taux : c'est le rythme constant équivalent, non une année observée.

Refais le trajet dans l'autre sens

Départ100

Rythme8,45 % × 5

Arrivée recomposée150,00

100 × (1 + 0,0845)⁵ ≈ 150 : l'arrondi final est cohérent.

6. Deux trajectoires de même taux moyen sont-elles identiques ?

Une série régulière et une série alternant crise puis rebond peuvent avoir les mêmes extrémités et donc le même taux moyen.

L'indicateur facilite les comparaisons de rythme sur des durées différentes, mais il faut regarder la série annuelle pour décrire fluctuations, ruptures et effets de base.

Même rythme moyen, histoires différentes

Départ100

Arrivée150

Taux moyen sur 5 ans8,45 %

La progression est proche du rythme moyen à chaque période.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

n compte les périodes.
Coefficient global = Vf/Vi.
Les coefficients successifs se multiplient.
t = (Vf/Vi)^(1/n) − 1.
La recomposition vérifie le calcul.
Le taux moyen masque la trajectoire intermédiaire.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

Sans abonnement : ton score et les réponses justes ou fausses restent visibles. Les 2 premières corrections détaillées sont offertes.

1. De 2018 à 2024, n vaut… 6 7 5

2. De 100 à 150, le coefficient global vaut… 1,5 0,5 150

3. +20 % puis −20 % donne… −4 % au total 0 % au total +4 %

4. La formule correcte est… (Vf/Vi)^(1/n) − 1 (Vf−Vi)/n Vf/Vi × n

5. La racine donne d'abord… un coefficient moyen directement un pourcentage sans conversion le nombre de périodes

6. Pour vérifier t, on calcule… Vi × (1+t)^n Vi + t + n Vf/n

7. Deux séries ont mêmes Vi, Vf et n. Elles ont… le même taux moyen mais pas forcément la même trajectoire chaque taux annuel identique la même volatilité

8. Un taux moyen de 3 % signifie… un rythme constant équivalent de 3 % par période exactement 3 % observé chaque année 3 points ajoutés à la valeur

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