Mesurer : protocole, résolution, erreurs et incertitude

Mesurer la position ne suffit pas à définir le mesurande. Il faut nommer le point du chariot, l'axe, l'origine, le sens, l'instant ou la phase, les conditions et l'unité. La question du fil rouge devient : distance du point P selon l'axe x du repère R0, chariot virtuel immobile à la consigne 0,350 m. Une autre définition, par exemple le bord avant au lieu du centre, produirait un biais constant sans que le calcul statistique puisse le réparer.

Le protocole fourni fixe les opérations, les paramètres, le nombre de répétitions et la règle de traitement avant la lecture des résultats. Tu vérifies sa complétude puis tu suis ses étapes sur des données synthétiques. Le jeu P décrit des positions en mètres ; Q conserve des codes bruts distincts ; I et V séparent l’identification d’une loi et son contrôle. Une autre personne doit pouvoir retrouver les calculs sans deviner un point, une unité ou un paramètre.

Le mesurande n’est ni le capteur ni le nombre affiché. Dans la fiche fournie, la distance du point P selon x, depuis O et pendant la phase immobile, est la grandeur recherchée. Une tension de sortie et un code entier sont des indications intermédiaires ; ils demandent une relation explicitée pour obtenir cette distance.

La traçabilité du calcul relie une ligne à son jeu, ses unités et sa version de traitement. La traçabilité métrologique demande en plus une chaîne documentée d’étalonnages vers une référence avec les incertitudes associées. Le dossier pédagogique permet de refaire des calculs, sans prétendre réaliser cette chaîne physique.

Une distance attendue de quelques dixièmes de mètre et une erreur cible de trois millimètres imposent deux regards différents : la plage doit contenir environ 0 à 0,50 m, tandis que la résolution doit être nettement plus fine que 0,003 m pour ne pas dominer le résultat. Le capteur fictif transforme 0,350 m en 1,60 V. Cette estimation vérifie que la valeur est comprise dans la plage 0 à 3,30 V avant toute quantification.

Dans la convention idéale choisie, 12 bits donnent 4096 niveaux numérotés de 0 à 4095. Les deux extrémités représentent 0 et 3,30 V : il y a donc 4095 intervalles et q=3,30/(4095×4)=0,000201465 m/code. Une autre convention de CAN peut utiliser 2^n au dénominateur ; on ne la mélange pas à celle du dossier. Arrondir au code le plus proche borne ici le résidu à une demi-largeur de code, sans chiffrer bruit, justesse ou incertitude totale.

Un contrôle de plage porte sur toutes les valeurs utiles, pas seulement sur le point nominal. Entre 0 et 0,50 m, la loi affine croissante fournit 0,20 à 2,20 V. Une pleine échelle de 1,80 V contient la valeur nominale 1,60 V mais exclut l’extrémité 2,20 V : le choix doit donc être rejeté pour le domaine annoncé.

La résolution numérique dépend conjointement de la plage, du nombre de codes et de la sensibilité. Dans le même modèle, une pleine échelle de 10 V avec 12 bits donne un pas en distance supérieur à celui de 3,30 V. Le seuil de 0,25 mm/code est un choix d’exercice fourni, pas une norme instrumentale.

L'erreur de mesure est la différence entre une valeur mesurée et une valeur de référence, mais la valeur vraie n'est généralement pas connue exactement. Dans un exercice synthétique, une référence peut être imposée pour apprendre le calcul. Un biais est une composante systématique estimée à partir de comparaisons ; une dispersion traduit la variation des répétitions. Des mesures très serrées peuvent toutes être décalées et donc répétables sans être justes.

Une correction repose sur un effet identifié et un modèle traçable. Soustraire la moyenne des résidus aux données qui ont servi à l'estimer améliore nécessairement ces mêmes points ; cela ne prouve pas une meilleure prédiction ailleurs. Le dossier conserve indication brute, correction appliquée, valeur corrigée et incertitude associée. Les valeurs atypiques ne sont pas supprimées parce qu'elles gênent, mais analysées à partir de règles fixées avant l'observation.

Un résidu signé vaut indication interprétée moins référence : une valeur +5 mm ne se corrige pas en ajoutant encore 5 mm. Une correction justifiée aurait le signe opposé. Mais connaître un résidu sur un point ne suffit pas à identifier sa cause : un décalage d’origine, une erreur de transcription ou une autre définition du point peuvent se ressembler.

Comparer deux jeux peut séparer dispersion et décalage. Ajouter 5 mm à toutes les valeurs augmente leur moyenne de 5 mm mais laisse leurs écarts à la moyenne, donc s, inchangés. Cette observation explique pourquoi une bonne répétabilité ne garantit pas la justesse ; elle ne désigne pas à elle seule le composant responsable.

La moyenne des n valeurs estime le centre du jeu. L'écart-type d'échantillon utilise n-1 au dénominateur pour estimer la dispersion à partir d'un échantillon, et l'incertitude-type A sur la moyenne vaut cet écart-type divisé par racine de n sous les hypothèses usuelles de répétition. Cette diminution concerne l'estimation de la moyenne, pas la dispersion d'une future indication individuelle. Six valeurs donnent une information limitée qui doit rester accompagnée du protocole.

Une composante de type B vient d'autres informations : résolution, certificat, tolérance, modèle ou expérience antérieure. Le qualificatif B ne signifie pas moins scientifique, et A ne signifie pas automatiquement aléatoire au sens physique. Combiner des composantes exige leurs unités, distributions et corrélations. Le cours calcule seulement la composante A issue des répétitions et signale les composantes absentes au lieu d'afficher une incertitude totale fictive.

Pour P, les écarts à 0,350 m sont −0,001 ; +0,001 ; 0 ; −0,002 ; +0,002 ; 0 m. La somme des carrés vaut 0,000010 m². Avec n−1=5, s=√(0,000010/5)=0,00141421356 m ; uA=s/√6=0,000577350269 m. Les deux valeurs gardent l’unité m et ne représentent pas la même grandeur.

L’expression uA=s/√n suppose des répétitions suffisamment indépendantes et un même mesurande dans des conditions stables. Copier trois fois deux lignes ne crée pas six observations indépendantes. A et B nomment des méthodes d’évaluation de composantes d’incertitude, pas des catégories d’erreurs : une composante inconnue n’est ni nulle ni automatiquement systématique.

Le dossier I fournit six couples distance-tension de référence fictifs. La relation proposée u=0,210+4d s’accorde avec ces points. Vérifier cette égalité est un contrôle d’ajustement, pas une preuve indépendante. Les points V ont été réservés avant le calcul ; on utilise les mêmes paramètres pour les lire. V5 conduit à une erreur de 4 mm malgré un accord sur I : l’origine du défaut doit être examinée sans retoucher la loi sur ces mêmes points.

Un étalonnage métrologique relie des références, leurs incertitudes et les indications, puis permet d’obtenir un résultat avec son incertitude. L’exercice d’ajustement synthétique n’en réalise pas toutes les étapes. Il ne règle aucun instrument et n’établit pas une traçabilité à un étalon. La lecture de la loi est guidée ; identifier seul ses paramètres et concevoir un autre protocole constitue un prolongement facultatif de Terminale.

La correction de décalage entre la loi initiale 0,20+4d et la loi fournie par I, 0,210+4d, correspond à 0,010 V, soit 0,0025 m. Utiliser 0,210 dans l’inverse retire ce décalage. Cela ne règle pas un instrument : on applique une relation de calcul, en conservant indications et paramètres avant/après.

Les résidus de V ne sont pas tous identiques : cinq sont au plus 0,2 mm en valeur absolue, mais V5 atteint 4 mm. Le maximum absolu vaut donc 4 mm et dépasse le seuil de 3 mm. On peut soupçonner plusieurs causes, mais le tableau ne permet pas de choisir entre faute de transcription, variation de condition ou inadéquation locale de la loi.

Une décision compare des grandeurs de même nature : s de P à 0,002 m, q de Q à 0,00025 m/code et le maximum des erreurs de V à 0,003 m. Dans ces dossiers, les deux premiers critères sont satisfaits mais le troisième échoue : V5 dépasse le seuil. Une moyenne favorable ne compense pas ce point et le pas numérique ne prouve pas la justesse de l’origine. Chaque conclusion cite donc son jeu et sa grandeur.

Lorsque le budget d'incertitude est incomplet, la conclusion doit le dire. Le cours peut conclure que les données synthétiques et le modèle idéal sont compatibles avec les seuils de l'exercice, sous leurs hypothèses. Il ne peut pas conclure qu'un capteur réel est conforme, que l'erreur vraie est bornée ou qu'un produit peut être mis en service. Une bonne revue transforme les inconnues importantes en prochaine mesure ou en blocage, au lieu de remplir le tableau par des zéros.

Le dossier distingue un échec observé d’une cause démontrée. REQ-ETA échoue sur V5 selon la règle fournie ; cela ne prouve ni une erreur de saisie ni un défaut de linéarité. La prochaine preuve doit départager les hypothèses, et non uniquement reproduire les valeurs qui donnent déjà une conclusion favorable.

Une conclusion utile nomme le jeu, la grandeur, la valeur et le critère, puis sa portée. « P satisfait le seuil de dispersion de l’exercice » est vérifiable ; « le capteur est exact » ne découle ni de P, ni de Q, ni des seuls points I. Les manques d’incertitude restent dans le compte rendu et ne sont pas compensés par un score global.