Objectifs du chapitre
Ce que tu vas savoir faire
- Tester une construction.
- Construire avec instruments.
- Utiliser un cas d’égalité.
3 cm, 4 cm et 8 cm ne construisent pas un triangle : 3+4<8.
Étape 1
Tester la construction
Dans tout triangle, la somme de deux côtés est strictement supérieure au troisième. Pour vérifier des longueurs, additionner les deux plus petites et comparer au plus grand. Cette condition se vérifie avant le tracé : elle évite de chercher une intersection qui ne peut pas exister.
Si la somme est égale au troisième côté, les trois points sont alignés : on obtient un triangle plat, pas un triangle. Si elle est inférieure, les deux arcs de compas ne se rencontrent pas. Ces deux cas expliquent pourquoi le mot « strictement » est indispensable.
Avec 5 cm, 7 cm et 11 cm, et : le triangle est possible. Avec 4 cm, 5 cm et 9 cm, : la condition n’est pas stricte et la construction est impossible comme triangle.
Cette inégalité contrôle aussi un résultat de calcul. Si un exercice donne deux côtés de 3 cm et 4 cm, un troisième côté de 8 cm signale une donnée ou une lecture erronée, car .
Exemple résolu · Pas à pas
Test
Peut-on construire un triangle de côtés 4 cm, 5 cm et 9 cm ?
- Les deux plus petites longueurs sont 4 et 5.
- .
- Comparer au troisième côté : , et non .
Non : les trois points seraient alignés. Il faut une somme strictement supérieure.
À retenir. Comparer les deux plus petits côtés au plus grand, avec une inégalité stricte.
Étape 2
Construire avec trois côtés
Une construction SSS est déterminée par trois longueurs de côtés. Tracer un côté à la règle, puis ouvrir le compas à la longueur du deuxième côté et tracer un arc depuis une extrémité. Recommencer depuis l’autre extrémité avec le troisième rayon : leur intersection est le troisième sommet.
Les deux intersections possibles sont symétriques par rapport au premier côté. Elles donnent deux figures superposables par retournement : choisir l’une des deux n’est pas une erreur. Il faut garder les arcs visibles assez longtemps pour montrer que les longueurs ne sont pas seulement estimées à l’œil.
La règle sert à tracer et relier ; le compas sert à reporter une longueur. Mesurer chaque côté après le tracé est un contrôle utile, mais ne remplace pas les arcs de construction. Un dessin à main levée peut ressembler à un triangle demandé tout en ayant des longueurs fausses.
Avant de commencer, placer les données : si , et , alors le premier segment peut être [AB], l’arc de centre A a pour rayon 5 et celui de centre B pour rayon 4.
À retenir. Les arcs de compas imposent les distances ; une mesure après coup ne les construit pas.
Étape 3
Associer les triangles
Deux triangles égaux sont superposables : après déplacement ou retournement, leurs sommets et leurs côtés se correspondent. Pour le prouver, on utilise des informations suffisantes, par exemple trois côtés correspondants égaux, deux côtés et l’angle compris égaux, ou un côté et les deux angles adjacents égaux.
Il faut d’abord écrire la correspondance des sommets. Dans et , dire A avec D, B avec E et C avec F permet de traduire , et . Sans cet ordre, une égalité de longueurs peut être associée au mauvais côté.
Dans le cas côté-angle-côté, l’angle doit être celui formé par les deux côtés donnés. Avoir deux côtés et un angle placé ailleurs ne garantit pas toujours une même figure. La figure est utile pour se repérer, mais les codages et les données écrites fondent la preuve.
Une fois l’égalité établie, on peut transférer une propriété : longueurs, angles, périmètres ou nature d’un angle correspondent. Il faut citer l’égalité des triangles avant de conclure, et non lire seulement une mesure sur un dessin.
À retenir. Nommer les sommets correspondants, justifier un cas d’égalité, puis seulement transférer une propriété.
Étape 4
Rédiger une preuve
Une rédaction géométrique suit toujours le même fil : données observables ou fournies, correspondance des sommets, propriété utilisée, puis conclusion. Cette structure permet à une personne qui ne voit pas le dessin de comprendre pourquoi la conclusion est recevable.
Par exemple, écrire « les triangles semblent pareils » ne prouve rien. Écrire « , et ; donc ABC et DEF sont égaux par côté-angle-côté ; par conséquent » donne une chaîne complète.
Une construction sur papier demande aussi un contrôle matériel : règles graduées, ouverture du compas, tracé des arcs et lisibilité. La plateforme peut guider la démarche et autoévaluer une grille, mais elle ne certifie pas la précision d’un tracé réel ni l’usage d’un instrument.
Après une première réponse, reprendre chaque ligne : ai-je cité une donnée ? l’angle est-il bien compris ? ma conclusion porte-t-elle sur des éléments correspondants ?
À retenir. Données, correspondance, propriété, conclusion : dans cet ordre.
L’essentiel à retrouver
Ta fiche de révision
- Inégalité stricte.
- Arcs de compas.
- Correspondances ordonnées.
Des erreurs à comprendre
Prendre une figure pour preuve.
Citer les mesures et le cas.
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Sources et repères
Édition Maxdecours · Année scolaire 2026-2027 · Vérification documentaire : 2026-10-24.
Attendus de fin d’année de 4e — Mathématiques · Éduscol — ministère de l’Éducation nationale · Espace et géométrie
Les constructions demandent instruments et retour humain.