Objectifs du chapitre
Ce que tu vas savoir faire
- Identifier et rédiger la configuration de Thalès en triangles emboîtés.
- Calculer ou vérifier un rapport de longueurs.
- Définir et utiliser le cosinus dans un triangle rectangle.
Dans ABC, D appartient à [AB], E à [AC] et (DE) est parallèle à (BC). Quel rapport est égal à ? .
Étape 1
Vérifier la configuration avant le calcul
Dans la configuration des triangles emboîtés, les points A, D, B sont alignés dans le même ordre, les points A, E, C sont alignés dans le même ordre, et les droites (DE) et (BC) sont parallèles. Ces trois informations sont les conditions de Thalès, pas des détails de dessin.
Les triangles ADE et ABC ont alors des côtés correspondants proportionnels. Il faut conserver le même ordre des sommets : A correspond à A, D à B, E à C. Écrire des rapports dans un ordre mélangé peut produire un nombre correct par hasard mais une méthode impossible à vérifier.
Un schéma codé rend les données lisibles : parallèles, longueurs connues et inconnue. Une figure apparemment parallèle ne suffit pas ; la propriété doit être donnée ou démontrée.
Exemple résolu · Pas à pas
Repérer les rapports homologues
Dans la configuration annoncée, compléter .
- Le segment DE est parallèle à BC.
- D correspond à B et E à C.
- Le côté correspondant à DE est BC.
.
À retenir. Thalès demande alignements ordonnés et parallélisme ; l'ordre des rapports suit la correspondance des sommets.
Étape 2
Calculer une longueur avec Thalès
Lorsque la configuration est établie, choisis une égalité qui contient une inconnue et deux longueurs connues. Évite de multiplier toutes les longueurs à la fois : nommer les unités et isoler l'inconnue rend le calcul contrôlable.
Si , alors lorsque AB est non nul. Une réduction de rapport inférieur à 1 donne un segment intérieur plus court que le côté correspondant ; cet ordre de grandeur est un contrôle utile.
| = | ||
| Thalès, après vérification des alignements et parallèles. | ||
| = | ||
| On remplace les longueurs en cm. | ||
| = | ||
| On multiplie par 12, puis on calcule. | ||
Conclusion. La réponse garde l’unité et respecte l’ordre de grandeur.
Ne confonds pas Thalès et Pythagore. Thalès compare des rapports issus de parallèles ; Pythagore additionne des carrés seulement dans un triangle rectangle.
À retenir. Choisir un rapport cohérent et contrôler qu’un segment intérieur est plus court que son correspondant.
Étape 3
Utiliser la réciproque pour prouver un parallélisme
La réciproque de Thalès part d’alignements et de rapports égaux pour conclure que deux droites sont parallèles. Elle ne permet pas de conclure à partir de deux longueurs semblables sur un dessin : les conditions et l’égalité de rapports doivent être écrites.
Dans les triangles emboîtés, si A, D, B et A, E, C sont alignés dans le même ordre, et si , alors (DE) est parallèle à (BC). Vérifie que les dénominateurs représentent bien les grands segments non nuls.
La rédaction distingue clairement le théorème direct, qui utilise le parallélisme, et la réciproque, qui le démontre. Cette distinction donne du sens à chaque information.
À retenir. La réciproque transforme des rapports égaux et alignements ordonnés en preuve de parallélisme.
Étape 4
Définir le cosinus dans un triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le quotient longueur du côté adjacent à cet angle sur longueur de l’hypoténuse. Pour l’angle B d’un triangle ABC rectangle en A, . L’hypoténuse est toujours opposée à l’angle droit.
Avant d'utiliser la calculatrice, nomme l'angle, l'hypoténuse et le côté adjacent. Le côté opposé à l'angle choisi n'intervient pas directement dans le cosinus. Le quotient est entre 0 et 1 pour un angle aigu, ce qui contrôle une erreur de côtés inversés.
Le cosinus découle de la proportionnalité de triangles rectangles ayant le même angle aigu. En quatrième, on l'utilise pour une longueur dans le triangle rectangle ; sinus, tangente et similitude relèvent ici de la progression de troisième et ne sont pas anticipés.
À retenir. dans un triangle rectangle ; identifier l’angle est indispensable.
L’essentiel à retrouver
Ta fiche de révision
- Thalès est conditionné par alignements et parallèles.
- La réciproque prouve le parallélisme par des rapports égaux.
- Le cosinus est défini dans un triangle rectangle.
- Cosinus, sinus et tangente ne sont pas interchangeables.
Des erreurs à comprendre
Appliquer Thalès parce que deux segments semblent parallèles.
Écrire les alignements et le parallélisme codé ou démontré.
Inverser l'ordre de l'un des rapports.
Faire correspondre les sommets avant de former les trois quotients.
Utiliser le côté opposé au lieu de l'adjacent pour le cosinus.
Repérer d'abord angle, hypoténuse, puis côté adjacent.
Les activités avec l’abonnement
Passe de l’idée
à la pratique.
L’abonnement ouvre les exercices corrigés, le quiz, les évaluations et les cartes de ce chapitre. Choisis une activité, comprends tes erreurs et retrouve la notion à revoir.
Essaie et corrige
3 exercices et 1 questions de quiz, avec les explications utiles après ta réponse.
Vérifie sans aide
1 activité d’évaluation, distincte de l’entraînement. Les réponses ouvertes utilisent des critères.
Reviens au bon moment
4 cartes et un bilan retrouvés dans ce navigateur, avec tes échéances de révision.
Choisis ta formule d’abonnement sur la page des offres, où tu retrouveras les tarifs et leurs conditions.
Sources et repères
Édition Maxdecours · Année scolaire 2026-2027 · Vérification documentaire : 2026-10-24.
Attendus de fin d’année de 4e — Mathématiques · Éduscol — ministère de l’Éducation nationale · Espace et géométrie : quatrième, figures et configurations.
Cycle des apprentissages fondamentaux (cycle 2), cycle de consolidation (cycle 3) et cycle des approfondissements (cycle 4) : modification · Ministère de l’Éducation nationale · Mathématiques, thème C : géométrie plane.
Les démonstrations se préparent au cahier ; une grille guide la relecture sans attribuer une note automatique à une preuve rédigée.