Nombres relatifs et fractions : calculer exactement, contrôler le signe

Ajouter un nombre positif déplace vers la droite ; ajouter un nombre négatif déplace vers la gauche. Dans $-7+12$, on part de −7 et l’on avance de douze unités vers la droite : sept pour atteindre zéro, puis encore cinq. Le résultat est 5. Dans $-7+(-12)$, les deux déplacements vont vers la gauche et le résultat est −19.

Deux nombres de même signe additionnent leurs distances à zéro et gardent leur signe. Avec deux signes différents, les déplacements se compensent en partie : la plus grande distance détermine le côté du résultat. Si les nombres sont opposés, les déplacements se compensent exactement et leur somme vaut zéro.

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Ainsi $5-(-3)=5+3$ : retirer une variation de −3 produit l’effet inverse, une variation de +3. Le signe de la soustraction et le signe du nombre n’ont pas le même rôle. Les parenthèses permettent de les distinguer avant la transformation.

Pour additionner ou soustraire des fractions, les parts doivent avoir la même taille. Un tiers et un quart sont deux parts différentes d’une même unité : on ne peut pas simplement compter ces morceaux ensemble. Le partage en douze parts égales donne $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$ et $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$. On retire alors trois douzièmes à huit douzièmes ; il reste cinq douzièmes.

Le dénominateur reste 12 parce que la taille des parts ne change pas pendant la soustraction. Seul leur nombre change. C’est pourquoi $\frac{2}{3}\frac{-1}{4}=\frac{5}{12}$, et non une fraction obtenue en soustrayant 3 et 4. Pour une somme de fractions relatives, les numérateurs suivent ensuite la règle des signes déjà expliquée.

Dans une multiplication, les nombres multipliés s’appellent des facteurs ; dans une addition, les nombres ajoutés s’appellent des termes. La règle des signes d’un produit concerne les facteurs : deux signes identiques donnent un produit positif, deux signes différents un produit négatif. Dans $-3+5$, il s’agit d’une somme : le résultat 2 vient de la compensation de déplacements, pas de la règle des signes d’un produit.

La règle de deux facteurs négatifs reste cohérente avec la distributivité : multiplier par une somme revient à additionner les deux produits. Comme $2+(-2)=0$, multiplier cette somme par −3 donne zéro. Le produit de −3 par 2 vaut −6 ; le produit de −3 par −2 doit donc valoir +6 pour que leur somme soit nulle. Le calcul posé ci-dessous montre ce raisonnement sur un exemple, tandis que la règle s’applique à tous les relatifs.

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Le sens peut se lire comme une fraction d’une quantité : la moitié des trois quarts d’une unité représente trois huitièmes de l’unité. Il n’est donc pas nécessaire de mettre les fractions au même dénominateur pour un produit.

Simplifier consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. Dans un produit de fractions, on peut regrouper les facteurs pour le faire avant les multiplications. Par exemple, dans $\left(\frac{6}{15}\right)\times \left(\frac{5}{8}\right)$, les facteurs 5 et 15 se réduisent par 5. En revanche, dans $(6+5)\text{/}15$, le numérateur entier vaut 11 : on ne peut pas supprimer le 5 au milieu de cette somme.

L’inverse d’un nombre non nul est le nombre qui donne 1 quand on le multiplie par lui. L’inverse de $\frac{2}{7}$ est $\frac{7}{2}$, car $\left(\frac{2}{7}\right)\times \left(\frac{7}{2}\right)=1$. Zéro n’a pas d’inverse : multiplier zéro par un nombre donne toujours zéro.

Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse. Ainsi $\frac{3}{5}÷\left(\frac{-2}{7}\right)=\frac{3}{5}\times \left(\frac{-7}{2}\right)$. Seul le diviseur est inversé. Le signe du quotient est ensuite contrôlé comme celui d’un produit. Un numérateur nul reste possible, par exemple $0÷\left(\frac{2}{7}\right)=0$ ; c’est le diviseur qui ne doit pas être nul.

Une expression indique un ordre de calcul. Les parenthèses regroupent ce qui doit être traité ensemble ; viennent ensuite les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions. Des opérations de même priorité s’effectuent de gauche à droite. Ainsi $12÷3\times 2$ vaut 8 : on calcule d’abord $12÷3=4$, puis $4\times 2=8$.

Une barre de fraction joue aussi le rôle d’un regroupement. Dans $(2+3)\text{/}5$, tout le numérateur 2 + 3 est divisé par 5, donc le résultat vaut 1. Cette écriture ne désigne pas le calcul $2+\frac{3}{5}$, qui vaut 2,6. Lorsqu’une formule est recopiée sur une seule ligne, les parenthèses préservent le sens de la barre.

Un contrôle intervient avant et après le calcul. Dans $\frac{19}{20}\frac{-7}{8}$, les deux nombres sont proches de 1 ; le premier vaut 0,95 et le second 0,875. Leur différence doit donc être positive et petite. Le calcul exact donne $\frac{3}{40}$, soit 0,075, ce qui est cohérent. L’estimation peut repérer une erreur ; elle ne justifie pas à elle seule toutes les transformations.

Les mêmes règles des signes valent pour les décimaux. Dans $(-\mathrm{2,4})\times 3$, trois nombres égaux à −2,4 sont additionnés : le résultat est −7,2. Pour deux facteurs négatifs, le produit est positif. Le signe et la valeur du produit peuvent donc être traités séparément, puis réunis dans la réponse.

Pour calculer un quotient comportant des virgules, multiplier le dividende et le diviseur par un même nombre non nul conserve sa valeur. Dans $(-\mathrm{8,4})÷\mathrm{1,2}$, multiplier les deux nombres par 10 donne $-84÷12$, donc −7. Déplacer une seule virgule changerait au contraire le quotient.

Le résultat se contrôle en revenant à la multiplication : $(-7)\times \mathrm{1,2}=-\mathrm{8,4}$. Le quotient est négatif car le dividende et le diviseur sont de signes différents. Sa valeur absolue est plus petite que 8,4 parce que l’on divise ici par 1,2, un nombre supérieur à 1. Diviser ne diminue pas toujours : $8÷\mathrm{0,5}=16$, car huit unités contiennent seize moitiés.

Un signe correct ne suffit donc pas à valider la virgule. Pour un résultat en décimal, le contrôle porte aussi sur sa taille ; pour un résultat en fraction, il porte sur la transformation exacte. Dans les deux cas, la conclusion répond au calcul demandé et garde l’unité lorsqu’il s’agit d’une grandeur.