Racines carrées, unités et ordres de grandeur en quatrième

Objectifs du chapitre

Ce que tu vas savoir faire

Retrouver et encadrer une racine carrée sans confondre carré et racine.
Choisir une valeur exacte ou approchée et contrôler son unité.
Relier puissances de dix, préfixes et ordre de grandeur dans une mesure.

Sans calculatrice, entre quels entiers se trouve $\sqrt{30}$ ? Comme 25 < 30 < 36 et 25 = $5^{2}$ , 36 = $6^{2}$ , la réponse est 5 < $\sqrt{30}$ < 6. Revoir les carrés parfaits $1^{2}$ à $12^{2}$ si cette comparaison est difficile.

Étape 1

Définir une racine carrée sans inverser les deux opérations

Pour un nombre positif n, $\sqrt{n}$ désigne le nombre positif dont le carré est n. Ainsi $\sqrt{49}$ = 7 parce que $7^{2}$ = 49. L’écriture $\sqrt{49}$ ne signifie ni 49 ÷ 2 ni ±7 : le symbole $√$ choisit la racine positive.

Les carrés parfaits utiles sont 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 et 144. Les mémoriser n’est pas réciter une liste : chaque égalité permet de vérifier une racine en recarrant le résultat.

Un nombre négatif n’a pas de racine carrée réelle, car le carré de tout nombre réel est positif ou nul. Dans les problèmes de quatrième, une longueur ou une aire négative signale donc une donnée ou un calcul à revoir.

Exemple résolu · Pas à pas

Vérifier une racine exacte

Calculer $\sqrt{121}$ puis contrôler la réponse.

121 est dans la liste des carrés parfaits : $11^{2}$ = 121.
La racine carrée est positive.
Contrôle : 11 × 11 = 121.

$\sqrt{121}$ = 11.

À retenir. $\sqrt{n}$ est défini pour n positif ou nul et son carré redonne n.

Étape 2

Encadrer avant d’approcher

Si n n’est pas un carré parfait, on le place entre deux carrés consécutifs. De 64 < 70 < 81 on déduit 8 < $\sqrt{70}$ < 9. Cet encadrement donne déjà une information fiable, même sans calculatrice.

Une calculatrice fournit ensuite une valeur approchée. Écrire $\sqrt{70}$ ≈ 8,37 au centième ne remplace pas l’encadrement : l’encadrement vérifie que 8,37 est plausible. L’arrondi dépend de la précision demandée.

Ne pas confondre « entre 8 et 9 » avec « égal à 8,5 ». L’encadrement borne la valeur ; il ne donne pas automatiquement son milieu.

À retenir. Comparer les carrés des bornes, puis annoncer le degré d’approximation demandé.

Étape 3

Passer d’une aire ou de Pythagore à une longueur

L’aire A d’un carré de côté c vérifie A = $c^{2}$ . Pour retrouver le côté, c = $\sqrt{A}$ ; l’unité devient une unité de longueur. Si A = 15 ${cm}^{2}$ , le côté vaut $\sqrt{15}$ cm, pas $\sqrt{15}$ ${cm}^{2}$ .

Dans un triangle rectangle, Pythagore peut conduire à $h^{2}$ = $a^{2}$ + $b^{2}$ . Après avoir vérifié l’angle droit et identifié l’hypoténuse, on prend la racine carrée positive : h = $\sqrt{(} a^{2}$ + $b^{2})$ . La racine intervient à la fin, pas à la place de l’égalité de Pythagore.

Lors d’un agrandissement, une aire est multipliée par $k^{2}$ . Pour retrouver une longueur à partir d’une aire agrandie, on raisonne sur le facteur de longueur k, puis on contrôle que l’unité finale est bien une longueur.

À retenir. Une racine carrée retrouve une longueur positive à partir d’un carré ou d’une aire ; la condition géométrique doit être écrite avant le calcul.

Étape 4

Écrire et contrôler des très petites ou très grandes grandeurs

Une puissance de dix positive agrandit une unité : $10^{6}$ = 1 000 000. Une puissance de dix négative indique une fraction de l’unité : $10^{- 6}$ = 0,000001. L’écriture scientifique a la forme a × $10^{n}$ avec 1 ≤ a < 10.

Les préfixes relient ces puissances aux unités : nano vaut $10^{- 9}$ , micro $10^{- 6}$ , milli $10^{- 3}$ , kilo $10^{3}$ , méga $10^{6}$ et giga $10^{9}$ . Une conversion doit conserver la grandeur : 3 µL = 3 × $10^{- 6}$ L.

Pour contrôler une mesure, estimer d’abord son ordre de grandeur et garder l’unité. Une bactérie n’est pas de l’ordre du kilomètre et une distance astronomique n’est pas de l’ordre du millimètre : ce contrôle détecte une virgule ou un préfixe erroné.

À retenir. Puissance, préfixe et unité racontent la même échelle ; l’ordre de grandeur sert de test de vraisemblance.

L’essentiel à retrouver

Ta fiche de révision

Contrôler $\sqrt{n}$ en recarrant le résultat.
Un encadrement vient de deux carrés consécutifs.
Une valeur approchée annonce son arrondi.
Une unité et un ordre de grandeur contrôlent une conversion.

Des erreurs à comprendre

Écrire $\sqrt{49}$ = ±7.

$\sqrt{49}$ désigne 7 ; l’équation $x^{2}$ = 49 a, elle, deux solutions réelles 7 et −7.

Conserver ${cm}^{2}$ après avoir pris une racine d’aire.

Une racine d’aire redonne une longueur, donc cm.

Lire µ comme m ou oublier l’exposant négatif.

Écrire d’abord le préfixe en puissance de dix et vérifier l’ordre de grandeur.

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Sources et repères

Édition Maxdecours · Année scolaire 2026-2027 · Vérification documentaire : 2026-10-24.

Attendus de fin d’année de 4e — Mathématiques · Éduscol — ministère de l’Éducation nationale · Pages physiques 2-3 : nombres, racines et ordres de grandeur.

La calculatrice est un outil d’approximation ; elle ne remplace ni la vérification par les carrés ni une mesure physique.

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