Théorème de Pythagore : calculer et justifier dans un triangle rectangle

Étape 1

Nommer la condition et l’hypoténuse

Dans ABC rectangle en A, l’hypoténuse est [BC], opposée à l’angle droit et plus longue que les deux autres côtés. C’est seulement après avoir établi que le triangle est rectangle en A que l’on peut écrire ${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2$.

Un dessin n’autorise pas seul le théorème : l’angle droit doit être codé, donné ou démontré. Nommer le sommet de l’angle droit puis les trois côtés évite d’inverser hypoténuse et côté de l’angle droit.

Les longueurs portent toutes la même unité. Les carrés ont une unité au carré durant le calcul ; la conclusion retrouve une longueur positive.

À retenir. Pythagore direct exige un triangle rectangle et porte sur les carrés.

Étape 2

Comprendre pourquoi les carrés sont reliés

Une démonstration établit une propriété pour tous les triangles rectangles, au-delà de quelques essais. Appelons a et b les longueurs positives des côtés de l’angle droit et c celle de l’hypoténuse. Les quatre triangles de chaque dessin sont identiques : ils ont seulement été déplacés ou tournés. Chaque grand carré a pour côté a + b et donc la même aire.

Dans le premier découpage, la figure centrale a quatre côtés de longueur c. Ses angles sont droits : les deux angles aigus du triangle initial ont une somme de 90°. Sur chaque bord du grand carré, ces deux angles et l’angle central forment un angle plat. L’angle central vaut donc 180° − 90° = 90°. La figure est bien un carré, pas simplement un losange supposé carré à la vue du dessin. Son aire est $c^2$.

Dans le second découpage, les quatre triangles occupent deux rectangles de côtés a et b. Les espaces laissés sont un carré de côté a et un carré de côté b. Puisque l’on retire les mêmes quatre triangles des deux mêmes aires initiales, les aires restantes sont égales : $c^2=a^2+b^2$. Cette preuve utilise les découpages et les angles, jamais des mesures lues sur l’image.

Le calcul littéral confirme ce raisonnement. L’aire du grand carré est ${(a+b)}^2=a^2+2\mathrm{ab}+b^2$. Les quatre triangles occupent $4\times \mathrm{ab}\text{/}2=2\mathrm{ab}$. Après soustraction, il reste $a^2+b^2$. Dans le premier découpage, cette même aire vaut $c^2$. La distributivité relie ainsi une méthode de calcul déjà apprise au raisonnement géométrique.

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Repère les quatre triangles dans chaque découpage, puis explique pourquoi les aires restantes sont égales. Le raisonnement est aussi disponible entièrement en texte.

À retenir. Retirer les mêmes triangles de deux aires égales laisse des aires égales.

Étape 3

Calculer sans confondre carré et longueur

À retenir. On isole un carré, puis une racine positive ; exact et approché sont distincts.

Étape 4

Prouver ou écarter le caractère rectangle

La réciproque part de trois longueurs qui forment un triangle. Repère le plus grand côté, puis compare son carré à la somme des carrés des deux autres. L’égalité prouve que le triangle est rectangle au sommet opposé à ce plus grand côté.

Lorsque les seules longueurs sont données, vérifie d’abord que la somme des deux plus petites est strictement supérieure à la plus grande : sinon il n’y a pas de triangle à qualifier. Cette vérification est distincte de la comparaison des carrés.

Si les deux nombres sont différents, le triangle n’est pas rectangle : s’il l’était, le théorème direct imposerait l’égalité des carrés. Cette démarche utilise le théorème direct dans un raisonnement par impossibilité ; ce n’est pas la réciproque. La réciproque sert à établir un angle droit lorsque l’égalité est vérifiée.

Une preuve courte donne les longueurs, les deux calculs, l’égalité ou l’inégalité, puis le sommet de la conclusion. Aucun formalisme inutile n’est demandé.

À retenir. La réciproque démontre l’angle droit par une égalité de carrés.

Étape 5

Choisir le bon raisonnement

Le théorème direct calcule une longueur lorsqu’un angle droit est connu. La réciproque prouve l’angle droit lorsque trois longueurs sont connues. Employer l’un à la place de l’autre reviendrait à supposer ce qui doit être établi.

Une réponse fiable contient le nom du triangle, la propriété applicable, les lignes de calcul et une conclusion avec unité. Une photographie de figure ne remplace pas ces informations.

Les calculs sur cahier aident à contrôler signe, unité et arrondi ; la plateforme accompagne la méthode, sans attribuer une note automatique à une preuve rédigée.

À retenir. Données d’angle droit : théorème. Données de trois côtés : réciproque.