Puissances et divisibilité en quatrième

Objectifs du chapitre

Ce que tu vas savoir faire

Interpréter une puissance entière et les priorités associées.
Calculer avec des puissances de dix et une notation scientifique.
Déterminer et justifier des divisibilités, multiples et facteurs premiers.

Calcule $10^{3}$ , $2^{3}$ et indique si 84 est divisible par 7. Réponses : 1 000, 8 et oui. Le symbole puissance ne signifie pas une multiplication par l'exposant.

Étape 1

Lire une puissance comme un produit répété

$3^{4}$ signifie $3 \times 3 \times 3 \times 3$ , soit 81. La base est 3 et l'exposant 4 compte les facteurs identiques. $3 \times 4$ vaut 12 : il ne faut donc jamais remplacer une puissance par base × exposant.

Une puissance de 10 déplace la virgule vers la droite lorsqu'elle multiplie un nombre positif. $10^{0} = 1$ : le produit vide et les règles de calcul restent cohérents. Pour une base négative, les parenthèses sont décisives : ${(- 2)}^{4} = 16$ , tandis que $- 2^{4} = - 16$ car l'opposé est pris après la puissance.

Les priorités restent celles des calculs : puissances, puis produits et quotients, puis sommes. Écris les étapes au lieu de demander à la calculatrice de deviner le groupement.

Exemple résolu · Pas à pas

Deux écritures très différentes

Comparer ${(- 3)}^{3}$ et $- 3^{3}$ .

Dans la première, la base −3 est répétée trois fois.
$(- 3) \times (- 3) \times (- 3) = - 27$ .
Dans la seconde, on calcule $3^{3} = 27$ puis on prend l'opposé.

Les deux expressions valent −27 ici, mais avec un exposant pair elles diffèrent : ${(- 3)}^{2} = 9$ et $- 3^{2} = - 9$ .

À retenir. L'exposant compte les facteurs ; les parenthèses déterminent si le signe moins appartient à la base.

Étape 2

Calculer sans inventer de règle

Quand la base est la même, multiplier des puissances additionne les exposants : $2^{3} \times 2^{5} = 2^{8}$ . C'est la réunion de trois puis cinq facteurs égaux à 2. Diviser des puissances de même base retire des facteurs si le quotient est défini : $10^{6} / 10^{2} = 10^{4}$ .

Calcul poséJustifier une règle de produit

Étapes du calcul : Justifier une règle de produit
$2^{3} \times 2^{5}$	=	$(2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)$
On développe chaque puissance comme produit.
	=	$2^{8}$
Il y a huit facteurs égaux à 2.

Conclusion. Les exposants s'additionnent parce que les facteurs sont regroupés.

Ces règles ne portent ni sur une addition ni sur des bases différentes. $2^{3} + 2^{5}$ n'est pas $2^{8}$ , et $2^{3} \times 3^{3}$ peut se réécrire ${(2 \times 3)}^{3}$ , non $6^{6}$ . Tester avec des petits nombres aide à refuser une fausse règle.

Une écriture scientifique s'écrit $a \times 10^{n}$ avec $1 \leq a < 10$ . Elle permet de comparer des ordres de grandeur. Déplacer la virgule de 0,00056 vers 5,6 demande quatre rangs, donc $0,00056 = 5,6 \times 10^{- 4}$ . Le signe de n dépend du déplacement, pas du signe du nombre.

À retenir. Les règles d'exposants concernent des produits ou quotients de puissances de même base, jamais une somme.

Étape 3

Raisonner sur multiples et diviseurs

Dire que 42 est divisible par 6 signifie qu'il existe un entier k tel que $42 = 6 \times k$ ; ici k vaut 7. 42 est alors un multiple de 6 et 6 un diviseur de 42. Les mots décrivent la même relation dans deux sens.

Les critères de divisibilité sont des outils de décision : un entier est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair, par 5 s'il finit par 0 ou 5, par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Ils doivent être utilisés avec précision. Pour 4, on examine les deux derniers chiffres ; pour 9, on additionne aussi les chiffres.

Décomposer un entier en facteurs premiers aide à trouver un plus grand diviseur commun ou un plus petit multiple commun. Chaque facteur premier est lui-même divisible seulement par 1 et lui-même. La décomposition de 84 est $2^{2} \times 3 \times 7$ ; elle est une écriture multiplicative, pas une somme.

À retenir. La divisibilité est une relation de quotient entier ; les critères donnent une justification rapide, pas une approximation.

Étape 4

Choisir une écriture adaptée et la contrôler

Une écriture exacte est préférable lorsque le calcul continue. L'écriture scientifique est exacte tant que sa mantisse est exacte. Une écriture décimale affichée par une calculatrice peut être arrondie : note le symbole $\approx$ lorsque tu remplaces un nombre par une approximation.

Pour contrôler un résultat, inverse mentalement le déplacement de virgule et vérifie l'ordre de grandeur. $6,2 \times 10^{5}$ est autour de 620 000, pas 6 200. Dans une situation mesurée, l'unité accompagne toujours le nombre.

La décomposition et la calculatrice ne dispensent pas d'expliquer la propriété utilisée. Un lecteur doit pouvoir savoir pourquoi une division est exacte et où un exposant a été obtenu.

À retenir. Exact, arrondi et ordre de grandeur sont trois informations distinctes.

Étape 5

Puissances de dix négatives et écritures équivalentes

$10^{- 3}$ = $\frac{1}{10} ³$ = 0,001 : l’exposant négatif ne rend pas le nombre négatif. Une même quantité décimale peut être écrite comme fraction décimale ou en notation scientifique.

À retenir. $10^{- 3}$ = $\frac{1}{10} ³$ = 0,001 : l’exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.

L’essentiel à retrouver

Ta fiche de révision

Une puissance est un produit répété.
Les parenthèses modifient une puissance de base négative.
La notation scientifique impose $1 \leq a < 10$ .
Un critère de divisibilité doit être nommé.

Des erreurs à comprendre

Écrire $2^{3} = 6$ .

$2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$ .

Additionner des exposants dans une somme.

Les règles concernent un produit ou un quotient de puissances de même base.

Conclure qu'un nombre est divisible par 3 parce qu'il est grand.

Utiliser une preuve par quotient entier, somme des chiffres ou décomposition.

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Sources et repères

Édition Maxdecours · Année scolaire 2026-2027 · Vérification documentaire : 2026-10-24.

Attendus de fin d’année de 4e — Mathématiques · Éduscol — ministère de l’Éducation nationale · Mathématiques quatrième : nombres et calculs.

Cycle des apprentissages fondamentaux (cycle 2), cycle de consolidation (cycle 3) et cycle des approfondissements (cycle 4) : modification · Ministère de l’Éducation nationale · Mathématiques, thème A : nombres et calculs.

Les preuves de divisibilité et les calculs posés se construisent sur cahier ; la calculatrice sert seulement à contrôler.

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