Objectifs du chapitre
Ce que tu vas savoir faire
- Reconnaître et justifier une situation de proportionnalité.
- Calculer une quatrième proportionnelle, un taux ou un pourcentage.
- Interpréter une échelle et contrôler les unités.
Si 3 cahiers coûtent 7,50 €, combien coûtent 5 cahiers au même prix ? Réponse : 12,50 €. Le coefficient est 2,50 € par cahier.
Étape 1
Reconnaître la proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on obtient toujours l'une en multipliant l'autre par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Le coefficient porte une unité lorsqu'il relie des grandeurs différentes : 2,50 € par cahier.
Une situation additive n'est pas forcément proportionnelle. Un taxi qui facture 4 € de prise en charge plus 2 € par kilomètre ne possède pas un coefficient unique prix/kilomètre : le montant fixe rompt la proportionnalité.
On peut vérifier par coefficient, par retour à l'unité ou par produit en croix. Choisir la méthode la plus lisible aide à expliquer le raisonnement.
Exemple résolu · Pas à pas
Tester un tableau
2 kg coûtent 6 €, 5 kg coûtent 15 €. La situation est-elle proportionnelle ?
- 6 ÷ 2 = 3 et 15 ÷ 5 = 3.
- Le même coefficient 3 €/kg relie les lignes.
- Les grandeurs sont comparables.
Oui : prix = 3 × masse.
À retenir. La proportionnalité exige un coefficient constant ; un montant fixe est un signal d'alerte.
Étape 2
Calculer une quatrième proportionnelle
Le retour à l'unité construit une chaîne de sens. Si 4 m de tissu coûtent 18 €, un mètre coûte 18 ÷ 4 = 4,50 €, puis 7 m coûtent 7 × 4,50 = 31,50 €. Les unités permettent de suivre les opérations.
Le produit en croix est une écriture condensée de cette relation. Dans un tableau proportionnel, = lorsque b et d ne sont pas nuls ; on peut calculer le terme inconnu sans inverser les colonnes.
| = | ||
| Les quotients masse/portions sont égaux. | ||
| = | ||
| On multiplie par les dénominateurs non nuls. | ||
| = | ||
| On divise par 6. | ||
Conclusion. La méthode est valide parce que la relation est proportionnelle.
Un coefficient inférieur à 1 réduit une quantité ; un coefficient supérieur à 1 l'augmente. Cette estimation évite d'accepter un prix cinq fois trop petit.
À retenir. Retour à l'unité et produit en croix décrivent la même relation proportionnelle.
Étape 3
Comprendre un pourcentage comme une proportion
Un pourcentage est une proportion rapportée à 100. . Prendre 18 % d'une quantité revient à la multiplier par 0,18 ; il ne s'agit pas de soustraire 18 unités.
Une réduction de 20 % multiplie un prix par , car il reste 80 % du prix. Une hausse de 20 % multiplie par . Ces deux opérations inverses ne se compensent pas automatiquement : +20 % puis −20 % donne 96 % du prix initial.
Dans une communication, précise toujours la grandeur de référence. 30 % des élèves d'un groupe et 30 points de pourcentage entre deux taux ne racontent pas la même chose.
À retenir. Pour une évolution de p %, le coefficient est ou .
Étape 4
Lire une échelle et convertir avant de calculer
Une échelle 1:25 000 signifie qu'une longueur sur la carte représente 25 000 fois cette longueur réelle, dans la même unité. 1 cm sur la carte représente 25 000 cm, soit 250 m, sur le terrain.
Avant de multiplier, convertis les unités. Mélanger cm sur le plan et km sur le terrain sans conversion produit des réponses invérifiables. Écris l'unité à chaque ligne.
Une échelle est une proportionnalité géométrique ; elle ne prouve pas que le trajet est praticable ni qu'il est rectiligne. Le calcul porte sur la représentation choisie.
À retenir. L'échelle compare des longueurs dans la même unité ; convertir fait partie de la méthode.
Étape 5
Formules de grandeurs et transfert géométrique
Une formule peut exprimer une proportionnalité lorsque le coefficient est constant. À vitesse constante, d = v × t : 12 km/h pendant 1,5 h donne 18 km, car km/h × h = km. Les unités permettent de contrôler le modèle.
Sur un graphique de proportionnalité, les points sont alignés avec l’origine. Une droite qui coupe l’axe vertical hors de l’origine traduit une autre relation : un tarif fixe plus un prix par unité, par exemple, n’est pas proportionnel.
En géométrie, un agrandissement de rapport k multiplie toutes les longueurs correspondantes par k. Dans une configuration de Thalès, les rapports de longueurs correspondantes sont égaux seulement lorsque les alignements et le parallélisme sont établis.
À retenir. Choisir le modèle exige coefficient constant, unités et conditions géométriques avant le calcul.
L’essentiel à retrouver
Ta fiche de révision
- La proportionnalité repose sur un coefficient constant.
- Un pourcentage est une fraction sur 100.
- Une baisse de p % utilise .
- Les unités contrôlent coefficient et échelle.
Des erreurs à comprendre
Appliquer un coefficient à une situation avec coût fixe.
Vérifier d'abord que le quotient reste constant.
Soustraire 20 au lieu de 20 %.
Transformer 20 % en 0,20 et utiliser le coefficient adapté.
Oublier une conversion d'échelle.
Mettre carte et terrain dans la même unité avant le calcul.
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Sources et repères
Édition Maxdecours · Année scolaire 2026-2027 · Vérification documentaire : 2026-10-24.
Attendus de fin d’année de 4e — Mathématiques · Éduscol — ministère de l’Éducation nationale · Mathématiques quatrième : proportionnalité, données et grandeurs.
Cycle des apprentissages fondamentaux (cycle 2), cycle de consolidation (cycle 3) et cycle des approfondissements (cycle 4) : modification · Ministère de l’Éducation nationale · Mathématiques, thèmes B et C.
Les tracés d'échelle et les calculs intermédiaires se font sur cahier ; la grille de rédaction demande une autoévaluation honnête.