Objectifs du chapitre
Ce que tu vas savoir faire
- Distinguer nombre premier, multiple et diviseur.
- Décomposer un entier en facteurs premiers et employer cette décomposition.
- Simplifier ou comparer des fractions en justifiant le facteur commun.
42 est-il premier ? Non : 42 = 2 × 21. peut-elle être simplifiée ? Oui : 84 et 126 ont 2 × 3 × 7 comme facteur commun. Si ces vérifications ne sont pas encore accessibles, commencer par les critères de divisibilité.
Étape 1
Distinguer premier, diviseur et multiple
Un entier supérieur à 1 est premier lorsqu’il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. 2 est le seul nombre premier pair ; 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur positif.
Pour tester un entier inférieur à 100, on cherche un diviseur autre que 1 et lui-même. Les critères de divisibilité accélèrent la recherche, mais un critère ne remplace pas la définition.
Dire que 6 divise 42 équivaut à écrire 42 = 6 × 7. Dans cette même égalité, 42 est un multiple de 6 et de 7. Changer le point de vue ne change pas le calcul.
Exemple résolu · Pas à pas
Tester 67
67 est-il premier ?
- Il n’est divisible ni par 2 ni par 5.
- La somme de ses chiffres vaut 13 : il n’est ni divisible par 3 ni par 9.
- Aucun diviseur entier entre 2 et 8 ne convient ; 67 n’a que 1 et 67 comme diviseurs positifs.
67 est premier.
À retenir. Premier décrit les diviseurs d’un entier ; multiple et diviseur décrivent une relation entre deux entiers.
Étape 2
Décomposer sans perdre les facteurs
Décomposer un entier en facteurs premiers consiste à l’écrire comme un produit de nombres premiers. On divise progressivement par les plus petits facteurs possibles, jusqu’à ne garder que des nombres premiers.
Par exemple 180 = 18 × 10 = (2 × × (2 × 5) = × × 5. L’ordre des facteurs ne change pas le produit ; les exposants comptent les facteurs identiques.
Une décomposition est contrôlée en multipliant ses facteurs. Elle ne sert pas à décorer une réponse : elle prépare la recherche d’un facteur commun ou la justification d’une divisibilité.
À retenir. Terminer par des nombres premiers et vérifier que leur produit redonne l’entier de départ.
Étape 3
Produire des fractions égales et simplifier
Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul ne change pas une fraction. Ainsi = 3×4/(5×4) = . On ne simplifie jamais à travers une addition : dans (3+2)/5, 2 et 5 ne sont pas des facteurs communs.
Les facteurs premiers montrent le plus grand facteur commun. Pour , 84 = et 126 = . Le facteur commun est 2×3×7 = 42 ; donc = .
Une fraction simplifiée aide à comparer ou calculer, mais elle doit rester égale à la fraction de départ. Vérifier par produit croisé ou en remontant la multiplication sécurise la réponse.
À retenir. Simplifier revient à diviser deux facteurs par le même nombre non nul, jamais deux termes d’une somme.
Étape 4
Modéliser une répartition entière
Un problème de paquets identiques demande souvent un diviseur commun aux quantités disponibles. Il faut d’abord préciser ce qui doit être entier : le nombre de paquets, le nombre d’objets par paquet, ou les deux.
Pour chercher toutes les compositions possibles, on peut lister les diviseurs communs ou utiliser les facteurs premiers. Une réponse donne une composition et vérifie qu’elle utilise tous les objets sans reste.
Dans une situation réelle, les données et contraintes comptent : « paquets identiques » ne signifie pas que tout diviseur est acceptable si le nombre de paquets est imposé. Écrire l’hypothèse évite de résoudre un autre problème.
À retenir. Le calcul de divisibilité doit être traduit par une vérification concrète des paquets et des restes.
L’essentiel à retrouver
Ta fiche de révision
- Un produit de facteurs premiers est vérifiable.
- Des fractions égales gardent le même quotient.
- Un problème de paquets exige des quotients entiers et une vérification du reste.
Des erreurs à comprendre
Dire que 1 est premier.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs ; 1 n’en a qu’un.
Simplifier 6+9 sur 3 en supprimant le 3.
On simplifie des facteurs ; réécrire une addition ou calculer d’abord.
Décomposer 84 en 2 × 42 puis s’arrêter.
42 n’est pas premier : poursuivre jusqu’aux facteurs premiers.
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Sources et repères
Édition Maxdecours · Année scolaire 2026-2027 · Vérification documentaire : 2026-10-24.
Attendus de fin d’année de 4e — Mathématiques · Éduscol — ministère de l’Éducation nationale · Pages physiques 3-4 : divisibilité et nombres premiers.
Une grille numérique vérifie un résultat précis ; une justification de primalité ou de plus grand facteur commun reste à relire avec ses étapes.