Objectifs du chapitre
Ce que tu vas savoir faire
- Distinguer expression, égalité et équation.
- Résoudre une équation du premier degré par opérations inverses.
- Modéliser un problème et vérifier une solution dans le contexte.
Résous puis vérifie. Réponse : x = 12, car 12 + 7 = 19.
Étape 1
Une inconnue et une égalité à satisfaire
Une équation contient une inconnue et une égalité. La résoudre consiste à chercher toutes les valeurs qui rendent les deux membres égaux. Dans , x n'est pas encore une valeur : il désigne celle qu'il faut trouver.
Une égalité peut être vraie pour toute valeur, pour aucune ou pour certaines valeurs. est une identité ; n'a aucune solution ; a une solution dans les nombres étudiés.
La vérification finale remplace x dans l'équation initiale. Elle détecte une erreur de signe ou une transformation qui n'aurait pas conservé l'égalité.
Exemple résolu · Pas à pas
Tester une candidate
5 est-il solution de ?
- Remplacer x par 5 dans le membre de gauche.
- .
- Les deux membres sont égaux.
5 est une solution.
À retenir. Une solution rend l'équation initiale vraie ; elle se contrôle par substitution.
Étape 2
Faire la même opération sur les deux membres
Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres conserve une égalité. Pour isoler x dans , on ajoute 4 aux deux membres. Cette phrase explique la ligne de calcul ; « passer de l'autre côté » est un raccourci qui masque l'opération.
Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul conserve aussi l'égalité. Si , diviser par −3 donne x = −5. La division par zéro est interdite : elle ne conserve pas l'information.
| = | ||
| Équation de départ. | ||
| = | ||
| On soustrait 8 aux deux membres. | ||
| = | ||
| On divise les deux membres par −5, non nul. | ||
Conclusion. Vérification : .
Réduis chaque membre avant d'isoler l'inconnue si nécessaire. Conserve les parenthèses jusqu'au développement ; une équation mal recopiée peut donner une réponse plausible mais fausse.
À retenir. Chaque ligne effectue la même opération, justifiée, sur les deux membres.
Étape 3
Développer et regrouper avant de résoudre
Certaines équations demandent d'abord un calcul littéral. Dans , développe le membre gauche, puis enlève 2x des deux côtés. L'objectif n'est pas de déplacer des symboles au hasard, mais d'obtenir une équation équivalente plus simple.
Lorsque l'inconnue apparaît des deux côtés, rassemble les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre. Choisir quel côté est une question de lisibilité ; vérifie le résultat obtenu dans l'équation de départ.
Une transformation qui multiplie par une expression pouvant être nulle nécessite une prudence particulière. Dans ce chapitre, on annonce explicitement lorsque l'on divise par un nombre non nul connu.
À retenir. Réduire est une préparation ; les étapes doivent rester équivalentes à l'équation de départ.
Étape 4
Choisir l'inconnue et interpréter la réponse
Dans un problème, commence par nommer l'inconnue et son unité. Écris ensuite une égalité qui traduit deux manières de calculer la même quantité. Une équation ne remplace pas la phrase de conclusion : x = 4 doit devenir « la longueur vaut 4 cm » si c'est son sens.
Contrôle les contraintes du contexte. Un nombre de billets, d'élèves ou de jours est souvent entier et non négatif. Une solution algébrique négative peut montrer que le modèle ou les données sont incompatibles avec la situation, pas qu'il faut inventer un résultat positif.
Plusieurs démarches sont recevables : tableau d'essais organisé, dessin, calcul inverse ou équation. L'équation rend toutefois visible la relation générale et facilite la vérification.
À retenir. Une solution algébrique doit être interprétée avec son unité et les contraintes du problème.
Étape 5
Tester une solution dans l’équation initiale
Tester une candidate consiste à remplacer x dans l’équation initiale. Un test positif montre que le nombre est solution ; un test négatif suffit à l’écarter.
À retenir. Tester une candidate consiste à remplacer x dans l’équation initiale.
L’essentiel à retrouver
Ta fiche de révision
- Une solution vérifie l'équation initiale.
- Faire la même opération aux deux membres conserve l'égalité.
- Développer et réduire avant d'isoler l'inconnue.
- Une réponse de problème est soumise à son contexte.
Des erreurs à comprendre
Changer de signe sans faire une opération sur les deux membres.
Écrire l'addition ou la soustraction appliquée aux deux membres.
Diviser par 0.
Une division par zéro n'est pas définie ; vérifier le diviseur.
Oublier l'unité de la réponse.
Interpréter x dans une phrase adaptée au problème.
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Sources et repères
Édition Maxdecours · Année scolaire 2026-2027 · Vérification documentaire : 2026-10-24.
Attendus de fin d’année de 4e — Mathématiques · Éduscol — ministère de l’Éducation nationale · Mathématiques quatrième : nombres et calculs.
Cycle des apprentissages fondamentaux (cycle 2), cycle de consolidation (cycle 3) et cycle des approfondissements (cycle 4) : modification · Ministère de l’Éducation nationale · Mathématiques, thème A : égalité et résolution de problèmes.
Les étapes de résolution et les graphiques éventuels sont préparés sur cahier ; une grille aide à relire sans donner une note automatique.