Dépendances entre grandeurs : formule, tableau et graphique

Étape 1

Exprimer une dépendance

Dans $p=\mathrm{2,5}n+8$, p dépend de n : on choisit une valeur de n, puis la formule donne une valeur de p. Les lettres ne sont pas décoratives. Ici n désigne un nombre de trajets et p un prix en euros ; échanger les deux rendrait la phrase et le calcul incohérents.

Une formule doit pouvoir se lire comme une phrase. « Le prix est 2,50 euros par trajet, auxquels s’ajoutent 8 euros fixes » explique $p=\mathrm{2,5}n+8$. Le coefficient 2,5 porte l’unité euro par trajet. Le terme 8 est le prix payé même s’il n’y a aucun trajet.

Pour calculer une image, on remplace la variable d’entrée. Pour $n=4$, on écrit $p=\mathrm{2,5}\text{}\mathrm{times}4+8=18$. Le résultat n’est pas seulement 18 : dans ce contexte, c’est 18 euros.

Cette relation n’est pas proportionnelle car, lorsque $n=0$, $p=8$ et non 0. Une relation proportionnelle a la forme $p=\mathrm{kn}$ et son graphique passe par l’origine. Ce critère évite de conclure à partir de la seule apparence d’une droite.

À retenir. Une formule indique une entrée, une sortie, des unités et parfois une valeur fixe.

Étape 2

Tableau de valeurs

Un tableau de valeurs range des couples qui vérifient une même formule. Chaque colonne associe une valeur de l’entrée à une seule valeur de la sortie. Les en-têtes doivent nommer les grandeurs et leurs unités, car « 18 » seul ne dit pas s’il s’agit d’euros, de kilomètres ou de minutes.

Pour construire le tableau, choisir des entrées utiles puis appliquer la formule dans chaque colonne. Avec $p=\mathrm{2,5}n+8$, les entrées 0, 2, 4 et 6 donnent successivement 8, 13, 18 et 23. Un tableau sert aussi de contrôle : une même entrée ne peut pas donner deux sorties différentes pour cette relation.

Lire une image dans un tableau consiste à partir de l’entrée : pour $n=4$, on lit $p=18$. Lire un antécédent consiste à partir de la sortie : 18 a ici pour antécédent 4. Il faut donner tous les antécédents si une autre relation en possède plusieurs.

Le tableau ne dispense pas de réfléchir au contexte. Le nombre de trajets ne peut pas être négatif. S’il représente des trajets entiers, $n=\mathrm{2,5}$ n’est pas une valeur possible, même si la formule peut la calculer.

À retenir. Une colonne forme un couple entrée-sortie cohérent et porte ses unités.

Étape 3

Lire dans les deux sens

Dans un graphique de dépendance, l’abscisse porte l’entrée et l’ordonnée la sortie. Avant toute lecture, on lit les légendes, les unités et l’échelle : une graduation peut représenter 1, 2 ou 5 unités. Un point $\left(4\text{;}18\right)$ signifie ici 4 trajets pour 18 euros, et non l’inverse.

Pour lire une image, partir de l’entrée sur l’axe horizontal, rejoindre le point ou la courbe, puis lire la sortie sur l’axe vertical. Pour lire un antécédent, faire le trajet inverse depuis la sortie. Si la lecture tombe entre deux graduations, indiquer qu’elle est approchée.

Les points du tableau et ceux du graphique doivent correspondre. Le point $\left(4\text{;}23\right)$ ne convient pas au tableau ci-dessous. Relier les points n’autorise pas automatiquement toutes les valeurs intermédiaires : cela dépend de la grandeur étudiée.

Une droite qui ne passe pas par l’origine peut représenter une relation affine comme celle du forfait. Elle traduit une augmentation régulière de 2,50 euros par trajet, mais le point de départ vaut 8 euros.

Agrandir l’image

Repère le point $\left(4\text{;}18\right)$, puis explique pourquoi la droite ne passe pas par l’origine.

À retenir. Image : horizontal vers vertical. Antécédent : vertical vers horizontal.

Étape 4

Interpréter

Le domaine est l’ensemble des entrées qui ont du sens dans le problème. Pour un nombre de trajets, on retient ici les entiers positifs ou nuls. La formule peut calculer $p=3$ lorsque $n=\text{-}2$, mais ce résultat ne décrit pas un trajet négatif.

Deux questions doivent être séparées : la valeur satisfait-elle la formule ? est-elle autorisée par le contexte ? Cette distinction est essentielle pour les longueurs, les durées, les nombres d’objets et les prix.

Pour contrôler une réponse, refaire le calcul dans une autre représentation. Une valeur obtenue par formule peut être retrouvée dans le tableau ou lue sur le graphique. Si les résultats ne concordent pas, vérifier d’abord l’unité, les axes et le terme fixe.

Dans une réponse finale, écrire la valeur accompagnée de son unité et d’une phrase liée à la situation. Cette habitude évite de confondre « 4 euros » et « 4 trajets ».

À retenir. Une formule peut produire une valeur qui n’est pas autorisée par le contexte.

Étape 5

Reconnaître une proportionnalité sur un graphique

Une proportionnalité est représentée par une droite passant par l’origine. Une droite qui passe par (0 ; 8) n’est pas proportionnelle, même si elle est droite.

À retenir. Une proportionnalité est représentée par une droite passant par l’origine.