Changer de forme pour rendre le problème simple

Un nombre complexe s'écrit de manière unique $\text{z=a+ib}$ avec a et b réels et $i^2\text{=−1}$. Deux complexes sont égaux lorsque leurs parties réelle et imaginaire sont égales. Somme et produit se développent par distributivité, puis $i^2$ est remplacé par $\text{−1}$.

Cette forme est la plus lisible pour additionner, identifier des parties ou résoudre $\text{az=b}$. Un calcul doit être réduit à $\text{x+iy}$ : laisser $i^2$ ou mélanger parties réelle et imaginaire masque le contrôle. Substituer le résultat dans l'équation initiale fournit une vérification indépendante.

Le conjugué de $\text{z=a+ib}$ est $\text{z̅=a−ib}$. Le produit $\text{zz̅=}{a}^2\text{+}{b}^2$ est réel positif et vaut |z|². Pour z non nul, $\frac{1}{z}\text{=}\frac{\text{z̅}}{\text{|z|²}}$. Ces relations transforment un quotient complexe en forme algébrique et donnent un contrôle par le module.

Le conjugué respecte somme et produit ; ces propriétés se démontrent en forme algébrique. Le module est une distance et vérifie $\text{|zw|=|z||w|}$. Il ne faut pas confondre |z|, nombre réel positif, avec z̅, nombre complexe réfléchi par rapport à l'axe réel.

Dans le plan complexe, $\text{z=a+ib}$ est l'affixe du point (a;b). Son module est la distance à l'origine. Pour z non nul, un argument θ est un angle orienté tel que $\text{z=|z|(cosθ+i}$ sinθ). Les arguments sont définis modulo 2π.

La forme trigonométrique s'obtient en calculant le module puis en choisissant le bon quadrant à partir des signes de a et b. Une valeur de tangente seule ne suffit pas, car plusieurs angles ont la même tangente. Le retour à $\text{a+ib}$ contrôle le choix.

La notation $\text{e⁽iθ⁾=cosθ+i}$ sinθ condense la forme trigonométrique. Les modules se multiplient et les arguments s'additionnent : r $\text{e⁽iθ⁾×s}$ $\text{e⁽iφ⁾=rs}$ $\text{e⁽i(θ+φ)⁾}$. Une puissance devient (r $\text{e⁽iθ⁾)ⁿ=}{r}^{\mathrm{n}}$ e⁽inθ⁾, ce qui est la formule de Moivre.

Les formules d'Euler expriment cos et sin avec des exponentielles imaginaires et transforment certaines identités ou intégrales. La forme exponentielle ne remplace pas la forme algébrique : additionner deux exponentielles de directions différentes demande souvent de revenir à cos et sin.

Une équation du second degré à coefficients réels possède des solutions complexes lorsque le discriminant est négatif. Si $\text{P(a)=0}$, alors $\text{P(z)}$ est divisible par $\text{z−a}$. Cette factorisation permet de réduire une équation de degré 3 lorsqu'une racine est connue.

Un polynôme non nul de degré n admet au plus n racines. Trouver une racine ne suffit donc pas à arrêter la résolution : il faut factoriser et traiter le quotient. Les coefficients réels impliquent que les racines complexes non réelles apparaissent par paires conjuguées.

Pour des points A, B, C d'affixes a, b, c, le module de $\text{(b−a)/(c−a)}$ compare les longueurs AB et AC ; son argument mesure l'angle orienté de AC vers AB. Un quotient réel indique des directions colinéaires ; un quotient imaginaire pur indique une orthogonalité, sous les conditions de non-nullité.

Les racines n-ièmes de l'unité sont e⁽2ikπ/n⁾ pour $\text{k=0,…,n−1}$. Elles sont régulièrement réparties sur le cercle unité et forment les sommets d'un polygone régulier. Leur somme est nulle pour $\text{n≥2}$, ce qui peut se voir par symétrie ou par somme géométrique.