Faire parler chaque coefficient de la matrice

Ce que tu vas savoir faire

• Construire et lire un graphe orienté ou non.
• Utiliser degrés, chemins et cycles.
• Construire une matrice d'adjacence et interpréter ses puissances.
• Effectuer somme, produit et puissance de matrices compatibles.
• Traduire un système linéaire sous forme matricielle.
• Calculer et discuter un état stable de Markov.

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• Suivre la spécialité mathématiques en Terminale.
• Maîtriser calcul algébrique, fonctions, vecteurs et probabilités.

1. Sommets, arêtes et arcs : définir le modèle

Un graphe choisit des sommets et des relations. Une arête relie sans direction ; un arc possède une origine et une extrémité. Selon la question, un sommet peut représenter une ville, une personne, un état ou une tâche. Deux modèles différents peuvent décrire la même situation pour des objectifs différents.

Avant tout calcul, on précise si les boucles, arêtes multiples, poids et directions sont autorisés. Une carte géographique n'est pas automatiquement un graphe de transport : il faut décider si la relation signifie route directe, temps maximal, correspondance ou autre critère.

2. Degrés, chemins, cycles et connexité

Dans un graphe non orienté, le degré d'un sommet compte les arêtes incidentes. La somme des degrés vaut deux fois le nombre d'arêtes car chaque arête touche deux extrémités. Dans un graphe orienté, on distingue degré entrant et sortant.

Un chemin est une suite de sommets reliés ; sa longueur compte les arêtes ou arcs parcourus. Un cycle revient à son point de départ. La connexité signifie qu'un chemin relie toute paire de sommets dans le cas non orienté. Il faut distinguer existence d'un chemin et chemin le plus court.

3. Matrice d'adjacence et comptage des marches

Après avoir fixé l'ordre des sommets, la matrice d'adjacence A contient aᵢj=1 s'il existe un lien de i vers j, 0 sinon dans un graphe simple non pondé. Pour un graphe non orienté, la matrice est symétrique. Changer l'ordre permute lignes et colonnes sans changer le graphe.

Le coefficient (i,j) de A⁽k⁾ compte les marches de longueur k de i vers j. Le produit matriciel encode le choix d'un sommet intermédiaire à chaque étape. Une marche peut répéter des sommets ; elle n'est pas nécessairement un chemin simple.

4. Calcul matriciel et compatibilité des dimensions

Deux matrices de même taille s'additionnent coefficient par coefficient. Le produit AB est défini si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Le coefficient (i,j) est le produit scalaire de la ligne i de A et de la colonne j de B.

Le produit matriciel n'est en général pas commutatif : AB peut différer de BA ou l'un des deux peut ne pas être défini. L'ordre traduit la composition des transformations. Une calculatrice vérifie un produit mais ne choisit ni les dimensions ni l'interprétation.

5. Matrices et systèmes linéaires

Un système linéaire s'écrit AX=B. Les opérations élémentaires sur les lignes correspondent à des transformations qui conservent l'ensemble des solutions lorsqu'elles sont réversibles. Pour une matrice carrée inversible, X=A⁻¹B fournit l'unique solution.

L'inverse ne doit pas être supposé. Une matrice peut représenter des équations redondantes ou incompatibles. La résolution doit donc contrôler nombre de solutions et substitution. Dans un contexte, une solution négative ou non entière peut aussi être inadmissible.

6. Chaînes de Markov et état stable

Une chaîne de Markov modélise des transitions entre états lorsque la loi du prochain état dépend seulement de l'état actuel. Une matrice stochastique regroupe les probabilités de transition ; selon la convention ligne ou colonne, les sommes correspondantes valent 1. La convention doit rester fixe.

Un vecteur d'état donne la distribution à un instant. Les puissances de la matrice calculent les distributions futures. Un état stable π vérifie πP=π dans une convention de vecteurs-lignes. Son existence n'implique pas que toute distribution converge vers lui ; la structure de la chaîne doit être examinée.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

• Le graphe n'est pas la situation : il est un choix de sommets, liens et conventions pour une question.
• Degré mesure l'incidence locale ; chemin et connexité décrivent l'accès dans le réseau.
• Les puissances d'une matrice d'adjacence comptent des marches, pas automatiquement des chemins simples.
• Les dimensions décident si le produit existe ; l'ordre décide ce qu'il signifie.
• La forme AX=B organise le système ; l'existence et l'unicité restent à démontrer.
• Un état stable se vérifie par une équation ; la convergence est une question distincte.

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Sources et traçabilité

Dernière vérification : 2026-08-15

1. Programme de mathématiques expertes de Terminale générale, Ministère de l'Éducation nationale, consulté le 2026-08-15.
2. Programmes et ressources en mathématiques, voie GT, Éduscol, consulté le 2026-08-15.