Modèles mécaniques : du mécanisme à la position de l’outil

Le système isolé dépend de la question. Pour calculer la position de l'outil, on conserve bâti, deux segments, deux pivots et point terminal ; moteur, câbles et boîtier peuvent être omis si leur géométrie n'influence pas cette position. Chaque omission devient une hypothèse. Le bâti définit le repère R0 ; les repères liés aux segments permettent d'exprimer leurs orientations relatives sans confondre angle absolu et angle de liaison.

Dire qu'un segment est un solide indéformable signifie que les distances entre ses points sont supposées constantes. Ce n'est pas une propriété parfaite de la matière. Si l'écart mesure-modèle augmente avec la charge, la flexibilité peut devenir une hypothèse à tester. Le dessin technique, la maquette volumique et le schéma cinématique ont des niveaux de détail différents : le bon modèle est celui qui répond à la question avec des limites explicites.

Un référentiel désigne le cadre par rapport auquel le mouvement est décrit ; un repère en fixe l’origine et les axes pour écrire les coordonnées. Ici le bâti sert de référence et R0 est attaché à O. Deux personnes qui choisissent des axes opposés peuvent obtenir des nombres de signes différents pour le même point : comparer les résultats exige donc de comparer d’abord les conventions.

Pour q1=30° et q2=−20°, le segment AB est orienté à 10° depuis x0, pas à −20°. Le signe négatif indique une rotation relative dans le sens horaire depuis OA. Cette lecture des angles précède le calcul : un logiciel peut exécuter sans erreur une formule qui décrit le mauvais repère. Un résultat numérique plausible ne valide pas la convention.

Une liaison idéale entre deux solides autorise certains mouvements relatifs et en contraint d'autres. Dans le modèle plan, un pivot autorise une rotation autour d'un axe normal au plan et bloque les translations relatives. Cette description cinématique ne dépend pas de la forme commerciale du palier. Le nombre de degrés de liberté compte les paramètres indépendants nécessaires pour décrire le mouvement relatif dans le cadre choisi.

Une liaison parfaite peut transmettre des actions dans les directions qu'elle contraint, mais la détermination de leurs intensités demande un problème d'équilibre ou de dynamique. Mouvement permis et action transmissible sont réciproquement liés dans le modèle, sans que cela autorise à inventer une valeur d'effort. Jeu, frottement, souplesse et butées appartiennent à un modèle plus riche et doivent être ajoutés seulement si la performance étudiée les rend pertinents.

Dans le plan, un solide libre possède trois mouvements indépendants : deux translations et une rotation. Le pivot idéal en laisse un ; une glissière plane en laisse un autre, une translation selon son axe. L’encastrement n’en laisse aucun. Le compte porte sur le mouvement relatif de deux solides, pas sur le nombre de moteurs ni sur la complexité de la pièce qui réalise la liaison.

Une pivot-glissant se décrit dans l’espace : rotation autour d’un axe et translation selon cet axe sont indépendantes. Si son axe est z0, cette translation sort du plan x0y0. La remplacer par un pivot plan supprimerait une possibilité de mouvement. Inversement, on ne somme pas aveuglément les mobilités des liaisons d’un mécanisme fermé : une boucle peut imposer des relations supplémentaires.

Le schéma cinématique remplace les formes par des symboles de solides et liaisons placés selon une géométrie utile. Il conserve axes, distances et paramètres nécessaires à la loi d'entrée-sortie. Le graphe de liaisons est plus abstrait : ses nœuds sont les solides et ses arêtes les liaisons. Il permet de repérer chaîne ouverte, boucle, solide isolé ou liaison redondante, mais ne conserve pas à lui seul la position géométrique des axes.

Dans le bras ouvert, le graphe est 0-pivot-1-pivot-2. Il ne contient aucune boucle et les deux angles paramètrent la configuration. Ajouter une liaison entre l'outil et le bâti créerait une chaîne fermée et une relation géométrique supplémentaire. Un bon dossier conserve les deux vues et leurs liens : le graphe vérifie la structure, le schéma porte la géométrie, et le modèle analytique traduit les projections. Aucun de ces artefacts ne remplace les limites physiques oubliées.

Commence par regrouper les pièces qui n’ont aucun mouvement relatif dans le modèle. Une vis fixée au segment 1 n’ajoute pas un solide cinématique indépendant ; elle appartient à sa classe d’équivalence. En revanche, une pièce libre de tourner par rapport à lui appartient à une autre classe. Ce regroupement doit être justifié par les assemblages décrits, pas par la couleur ou le nombre de pièces du dessin.

La figure ci-dessous représente la géométrie nominale des deux segments à une échelle commune. Les points O, A et B sont calculés à partir des paramètres du dossier ; le tableau permet une lecture sans image. C’est un schéma géométrique simplifié, pas une vue volumique ni un dessin normalisé complet de liaison. Les pivots d’axes z0 et les classes 0, 1 et 2 restent décrits dans le texte.

Une position décrit les coordonnées d’un point dans un repère à un instant. La trajectoire est l’ensemble des positions de ce point au cours du mouvement dans le référentiel choisi. Elle ne donne pas à elle seule la vitesse de parcours. Un déplacement compare deux positions : c’est un vecteur dont les composantes portent des mètres, alors que celles de la vitesse portent des mètres par seconde.

Le point B d’un bras à deux pivots dépend des angles q1 et q2 et des longueurs L1 et L2. Lorsque q2 reste fixé et que q1 varie, OB conserve sa norme dans ce modèle : B décrit un cercle centré en O. Avec une trajectoire discrète, on peut estimer des vitesses et tester chaque point contre une zone. Le volume des segments, les obstacles et les transitions réelles ne sont pas décrits par ces seuls tests.

Avec des angles relatifs, les projections donnent x=L1 cos(q1)+L2 cos(q1+q2) et y=L1 sin(q1)+L2 sin(q1+q2). Les longueurs sont en mètres. Les fonctions du script Python reçoivent des radians : la conversion se fait une fois après validation des degrés fournis. À q1=0° et q2=0°, le bras est déplié sur x0 ; à q1=90° et q2=0°, il est vertical, deux contrôles indépendants utiles.

Une liste de coordonnées sans dates ne suffit pas à calculer une vitesse. Pour un pas constant Δt, la différence centrée v(ti)≈[B(ti+1)−B(ti−1)]/(2Δt) estime les composantes de la vitesse à un instant intérieur. Elle n’est pas la longueur totale du trajet divisée par sa durée. Les points extrêmes demandent une autre formule ; cinq échantillons ne prouvent pas que tout le mouvement entre eux reste dans une zone.

Le graphe des actions mécaniques relie le système isolé aux entités qui exercent une action : autre solide par contact, pesanteur à distance, ressort ou actionneur selon le modèle. Pour chaque action, on précise point ou zone, direction, sens et intensité lorsqu'ils sont connus. Isoler le segment 2 fait apparaître l'action du segment 1 au pivot, le poids et une éventuelle action de l'outil. Le simple graphe ne fournit pas leurs valeurs.

Le graphe de liaisons et celui des actions peuvent avoir des arêtes proches, mais ils répondent à des questions différentes. La liaison décrit le mouvement relatif et les composantes transmissibles ; l'action décrit une interaction sur le système isolé. Le principe d'actions réciproques impose des actions opposées entre deux solides, exprimées au même point et dans des repères cohérents. Les valeurs seront déterminées seulement avec les équations et hypothèses appropriées.

Isoler le segment 2 revient à tracer sa frontière et à inventorier ce qui agit sur lui depuis l’extérieur. Son poids s’applique à son centre de gravité G2 dans le modèle uniforme ; l’action de 1 sur 2 passe par A. Les deux forces du pivot dans le plan sont inconnues tant qu’un problème d’équilibre ou de dynamique n’a pas été posé. Une action de moteur serait ajoutée séparément si le dossier en définissait une.

Le principe des actions réciproques relie l’action de 1 sur 2 à celle de 2 sur 1 : elles sont opposées et portées par la même interaction. Elles n’agissent pas sur le même solide isolé. Si l’on isole l’ensemble des segments 1 et 2, leur interaction mutuelle devient interne ; elle ne figure plus parmi les actions extérieures. Les poids des deux segments, eux, restent extérieurs à cet ensemble.

Le modèle direct prédit une position pour des longueurs et angles exacts. Les six coordonnées x synthétiques diffèrent légèrement entre répétitions. Leur moyenne et leur écart-type quantifient ce jeu, tandis que l'écart moyen à la simulation combine biais géométrique, origine, angles, jeu, flexibilité et instrument. Une bonne répétabilité ne garantit pas la justesse : toutes les valeurs peuvent être serrées mais décalées.

Le diagnostic organise des hypothèses et des essais discriminants. Mesurer plusieurs configurations sans charge peut tester longueurs et zéros angulaires ; comparer plusieurs charges à configuration fixe peut révéler une déformation ; inverser le sens d'approche peut mettre en évidence un jeu. Ces observations ne sont jamais provoquées sur une machine non conçue pour l'essai. Dans le cours, elles restent des protocoles à analyser et la décision porte seulement sur l'amélioration du modèle virtuel.

Pour six répétitions indépendantes sous les mêmes conditions, la moyenne décrit le centre des valeurs et l’écart-type d’échantillon s leur dispersion, avec un diviseur n−1. La composante Type A sur la moyenne vaut uA=s/√n et possède ici cinq degrés de liberté. Elle ne contient pas l’erreur d’alignement, d’étalonnage ou d’angle ; multiplier uA par deux ne crée pas automatiquement une couverture de 95 %.

Avant d’ajouter un paramètre, demande s’il peut être identifié avec les essais disponibles. Avec q2=0°, les deux segments sont alignés : les positions dépendent de L1+L2 et ne séparent pas les deux longueurs. Un résidu constant dans R0 est compatible avec une translation du repère, sans prouver sa cause. Ajuster une correction puis la valider sur les mêmes points ne constitue pas un test indépendant.