Thalès : calculer une longueur et démontrer un parallélisme

Dans la configuration donnée, le théorème fournit AM/AB = AN/AC = MN/BC. Chaque quotient est une longueur du petit triangle divisée par la longueur correspondante du grand. On pourrait inverser tous les rapports, mais pas un seul au milieu : AB/AM = AC/AN = BC/MN est aussi cohérent.

Avec les données de la figure, les rapports $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}$ et $\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}$ donnent le même coefficient de réduction. Le théorème peut être appliqué parce que les alignements et le parallélisme sont donnés. Pour obtenir MN, choisis ensuite le rapport contenant cette inconnue et BC. Contrôle le sens du résultat : le petit côté doit rester inférieur au grand.

Choisis le couple de rapports contenant la longueur inconnue et des données connues. Un produit en croix est une transformation d'une égalité de quotients, pas une formule à appliquer à quatre nombres pris au hasard. Écris la relation puis isole l'inconnue en respectant les opérations.

Si on cherche un grand côté à partir du petit, on divise par le rapport de réduction. Par exemple, avec MN = 6 cm et k = 0,75, BC = $\frac{6}{\mathrm{0,75}}$ = 8 cm. Multiplier donnerait 4,5 cm, inférieur au petit côté ; un contrôle du sens permet de repérer cette erreur.

Conserve une valeur exacte pendant le calcul lorsque c'est possible. Si un quotient vaut $\frac{1}{3}$, ne le remplace pas trop tôt par 0,33. Pour une longueur de 12 cm réduite dans ce rapport, le résultat exact est 4 cm. L'arrondi intervient seulement quand l'énoncé le demande, avec l'unité dans la conclusion.

Dans une configuration croisée, A se trouve entre M et B et entre N et C. Les deux triangles AMN et ABC sont de part et d’autre de A : M n’appartient plus au segment [AB], et N n’appartient plus à [AC]. Le sommet commun et les correspondances restent A avec A, M avec B et N avec C. Commence par placer les points sur les deux droites avant de choisir des rapports.

Dans la figure donnée, les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Le théorème donne les mêmes rapports de longueurs que dans le cas intérieur. Toutes ces longueurs sont positives : AM = 6 cm, AB = 9 cm, AN = 8 cm et AC = 12 cm. Le dessin ne sert pas de règle graduée ; les données et le parallélisme de l’énoncé font foi.

Pour calculer MN, utilise BC = 15 cm et le rapport commun. La longueur obtenue est positive même si les triangles sont de part et d’autre de A. Dans cette configuration, MB vaut AM + AB, car A est entre les deux points ; soustraire les deux longueurs serait adapté à un autre ordre de points.

La réciproque exige, elle aussi, des positions cohérentes sur les deux droites. Si tu déplaces seulement N du même côté de A que C tout en conservant les longueurs, l’égalité des rapports positifs ne suffit plus à conclure. Dans le modèle de la figure, l’homothétie qui envoie B sur M et C sur N a pour rapport $\frac{-2}{3}$ : son signe décrit les côtés opposés de A. Le rapport des longueurs, lui, vaut $\frac{2}{3}$ et reste positif.

La réciproque répond à une autre question : les droites sont-elles parallèles ? On connaît les alignements et les longueurs, mais pas encore le parallélisme. Dans la configuration intérieure, on vérifie que A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre, puis que AM/AB = AN/AC. La réciproque permet alors de conclure (MN) // (BC).

Par exemple, les données AB = 10 cm, AM = 4 cm, AC = 15 cm et AN = 6 cm permettent une comparaison exacte. Si M appartient à [AB] et N à [AC], les ordres sont cohérents. La conclusion obtenue sera une démonstration de parallélisme, pas une hypothèse ajoutée pour arranger le calcul.

Deux quotients égaux sans information de position ne suffisent pas. Si M est du même côté de A que B, mais N du côté opposé à C, les longueurs peuvent donner des rapports positifs égaux sans le parallélisme attendu. Les points doivent être placés de manière cohérente sur les deux droites ; dans une configuration croisée, les deux paires doivent correspondre avec le même ordre relatif.

On peut aussi démontrer l'absence de parallélisme lorsque les rapports correspondants sont différents dans une configuration autorisée. Si les droites étaient parallèles, Thalès imposerait l'égalité. Le constat d'une inégalité contredit cette conséquence. C'est un raisonnement par contraposée, souvent formulé en troisième en expliquant l'impossibilité.

Attention aux arrondis. Les nombres 0,333 et 0,333 peuvent provenir de rapports exacts différents ; leur seule apparence décimale ne prouve pas l'égalité. Compare des fractions par simplification ou produits exacts lorsque les données le permettent. Pour des mesures réelles, une approximation ne devient pas une preuve géométrique exacte.