Données et hasard : décrire une série, raisonner sur une probabilité

Une étude statistique porte sur une population et un caractère observé. Le caractère peut être une durée, une catégorie ou une autre propriété. Dans ce chapitre, les durées d'un atelier sont fictives : elles servent uniquement à apprendre les méthodes. Il n'y a ni dossier d'élève ni mesure réelle à transmettre. Avant de calculer, précise ce qui est mesuré, son unité et le nombre d'observations.

L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît. L'effectif total N est la somme de tous les effectifs. Dans le tableau, la durée de 8 minutes apparaît quatre fois ; il y a dix observations au total. Ce tableau est une écriture condensée de la liste ordonnée 4, 4, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 10. Compter les quatre colonnes de valeurs donnerait 4, pas l'effectif total 10.

La fréquence d’une valeur est son effectif divisé par l’effectif total. La durée de 8 minutes apparaît quatre fois sur dix observations. La fréquence n’a pas l’unité minute : c’est une proportion, que l’on peut aussi écrire en pourcentage. Quand toutes les observations sont réparties sans oubli ni doublon, les fréquences totalisent 1, soit 100 % ; ce contrôle repère un tableau incomplet.

Un diagramme peut montrer cette répartition, mais il faut lire les axes et leurs unités. Une barre représentant l'effectif 4 n'indique pas une durée de 4 minutes. Pour un diagramme circulaire, les secteurs doivent être proportionnels aux fréquences. On ne conclut pas que deux groupes ont le même effectif parce que deux secteurs de graphiques différents occupent le même angle : les effectifs totaux peuvent être différents.

Quand les données sont regroupées en intervalles, on ne dispose plus de chaque durée exacte. Une classe comme [5 ; 10[ contient les durées au moins égales à 5 minutes et strictement inférieures à 10 minutes. La borne gauche est incluse, la borne droite exclue. Une durée de 10 minutes appartient à la classe suivante ; elle ne doit être comptée ni deux fois ni oubliée.

Pour des classes de même largeur, l’histogramme comporte des rectangles adjacents : les intervalles se suivent sur un axe de durée. Ici, chaque largeur représente 5 minutes et les hauteurs représentent les effectifs sur une même échelle partant de zéro. Comme les largeurs sont égales, des hauteurs proportionnelles aux effectifs donnent aussi des aires proportionnelles. Un diagramme en bâtons de valeurs isolées n’a pas la même construction.

Les quatre classes du document ont les effectifs 6, 10, 8 et 6 : leur total vaut 30 observations fictives. Pour les durées au moins égales à 5 et strictement inférieures à 15 minutes, réunis seulement les deux classes intermédiaires. Le choix des bornes précède le calcul ; prendre les barres les plus hautes sans lire leurs intervalles ne répondrait pas à la question.

L’histogramme conserve les effectifs des classes, mais pas les valeurs précises à l’intérieur. Tu peux calculer exactement une fréquence portant sur des classes entières. En revanche, leurs bornes ne sont pas forcément les valeurs minimale et maximale réellement observées. On ne peut donc pas retrouver l’étendue exacte, ni la moyenne exacte ou la médiane exacte, à partir de ce seul regroupement. Remplacer chaque classe par son milieu donnerait une estimation, pas les données initiales.

Pour construire ton histogramme sur papier, commence par les axes nommés, les unités et une échelle régulière. Place les bornes 0, 5, 10, 15 et 20 sur l’axe horizontal. Trace ensuite les quatre rectangles sans intervalle artificiel entre eux, avec les hauteurs 6, 10, 8 et 6. Relis les valeurs aux frontières et contrôle la somme des effectifs. Un raisonnement écrit peut expliquer cette construction ; un score numérique ne vérifie pas le tracé effectué.

La moyenne d'une série numérique est la somme des valeurs de toutes les observations divisée par leur nombre. Quand une valeur apparaît plusieurs fois, elle intervient autant de fois dans la somme. Avec un tableau d'effectifs, on calcule donc une somme pondérée : chaque valeur est multipliée par son effectif avant l'addition.

Pour les dix durées du tableau, chaque valeur doit apparaître autant de fois que son effectif. Calcule la somme pondérée, puis divise par dix. Une moyenne simple des quatre valeurs distinctes donnerait 7 minutes, mais traiterait chaque colonne comme si elle contenait le même nombre d’observations. Les effectifs inégaux changent le résultat.

La moyenne s'interprète comme une valeur de partage égal : si la somme totale des dix durées était répartie également, chaque observation aurait 6,8 minutes. Elle n'est pas nécessairement une valeur réellement présente dans la liste. Elle conserve l'unité du caractère et doit se trouver entre la plus petite et la plus grande valeur.

Une valeur très éloignée peut déplacer la moyenne. Pour 2, 3, 3, 6 et 11, la somme vaut 25 et la moyenne 5. Remplacer seulement 11 par 31 porte la somme à 45 et la moyenne à 9. Cette sensibilité peut être utile pour décrire un total, mais moins adaptée si on veut rendre compte d'une observation centrale. Aucun indicateur n'est « le meilleur » sans question précise.

Pour réunir deux groupes de tailles différentes, pondère aussi leurs moyennes. Trois observations de moyenne 4 ont une somme de 12 ; sept observations de moyenne 6 ont une somme de 42. La moyenne simple des deux moyennes, qui vaudrait 5, ne conviendrait que pour des effectifs identiques. Il faut reconstituer les sommes et l’effectif total.

La médiane se détermine dans une série rangée par ordre croissant. Elle sépare les observations en deux parties : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. Pour un effectif impair, on prend la valeur centrale. Dans 2, 3, 3, 6, 11, la troisième valeur est 3 : c'est la médiane, alors que la moyenne vaut 5.

Pour un effectif pair, on utilise ici la convention scolaire de la moyenne des deux valeurs centrales. Dans les dix durées du tableau, les rangs 1 à 2 portent 4, les rangs 3 à 5 portent 6, les rangs 6 à 9 portent 8 et le rang 10 porte 10. Les rangs centraux sont 5 et 6 : lis d’abord leurs valeurs, puis calcule.

Ne cherche pas la médiane en moyennant la plus petite et la plus grande valeur. Cette opération ignore la position des autres observations. Les effectifs cumulés permettent de retrouver les rangs sans recopier une longue liste : cumule les effectifs puis repère où se situent le ou les rangs centraux. Vérifie que les rangs concernent les observations, et non seulement les catégories.

L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale. Pour le tableau, elle vaut 10 − 4 = 6 minutes. Elle décrit l'écart entre les extrêmes, pas une valeur centrale et pas la manière dont toutes les observations se répartissent. Deux séries peuvent avoir la même moyenne et la même étendue tout en ayant des répartitions différentes.

Dans l'exemple où 11 devient 31, la médiane reste 3, car la valeur centrale ne change pas, tandis que l'étendue passe de 9 à 29. Cela illustre une limite de chaque indicateur ; cela ne signifie pas que la médiane ne change jamais quand une valeur est modifiée. Pour comparer des groupes, annonce la question, les indicateurs et les données disponibles, sans inventer une cause ou une performance non observée.

Le modèle de deux dés équilibrés à six faces, lancés indépendamment, possède 36 couples ordonnés équiprobables. On distingue un premier et un second dé : (1 ; 2) et (2 ; 1) sont deux issues, même s'ils donnent la même somme 3. Le tableau des sommes représente une case par couple. Les onze sommes de 2 à 12 ne sont donc pas équiprobables.

Pour la somme 7, les couples favorables sont (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2) et (6 ; 1). Pour la somme 2, seul (1 ; 1) convient, avec une probabilité de $\frac{1}{36}$. Leurs nombres d’issues favorables diffèrent : les sommes ne peuvent donc pas être traitées comme onze issues équiprobables.

Le tableau doit être lu avec une méthode complète. Choisis une face pour le premier dé, puis parcoure toutes les faces du second, avant de passer à la ligne suivante. Ce parcours évite d'oublier les issues symétriques ou de compter deux fois la même case. Un tableau de couples, un arbre correctement construit ou une liste organisée peuvent être des démarches recevables.

Cette énumération est une extension des situations simples : elle utilise les hypothèses d'équilibre et d'indépendance explicitement données. Si on changeait le nombre de faces ou si les résultats étaient liés, il faudrait reconstruire l'univers et ses probabilités. Contrôle toujours le nombre total d'issues avant d'appliquer une fraction mémorisée.