Pythagore et trigonométrie en troisième

Objectifs du chapitre

Ce que tu vas savoir faire

Appliquer Pythagore seulement dans un triangle rectangle.
Utiliser sa réciproque ou réfuter un angle droit à partir des carrés.
Identifier opposé, adjacent et hypoténuse par rapport à un angle.
Choisir sinus, cosinus ou tangente pour calculer une longueur ou un angle.
Rédiger une solution en conservant les valeurs exactes avant l'arrondi.

Un triangle est rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Quel côté est opposé à l'angle droit ? Réponse : BC. Peut-on additionner 6 et 8 pour trouver BC ? Non : ce sont les carrés qui s'additionnent. Reprends les carrés avant de continuer si cette distinction te résiste.

Étape 1

Pythagore : une égalité de carrés avec une condition

Dans un triangle ABC rectangle en A, les côtés AB et AC forment l'angle droit. BC, opposé à cet angle, est l'hypoténuse et le plus long côté. Le théorème de Pythagore donne ${BC}^{2} = {AB}^{2} + {AC}^{2}$ . Le carré porte sur chaque longueur ; l'égalité ne dit pas que BC = AB + AC. Le théorème s'utilise quand l'angle droit est une donnée ou a déjà été démontré.

On peut comprendre cette relation en construisant un carré de côté a + b avec quatre copies d'un triangle rectangle de côtés a, b et d'hypoténuse c. L'aire du carré vaut (a + ${b)}^{2}$ . Les quatre triangles occupent 4 × ab/2 = 2ab ; le carré central de côté c occupe $c^{2}$ . L'égalité des aires donne $a^{2}$ + 2ab + $b^{2}$ = 2ab + $c^{2}$ , puis $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Cette explication relie une propriété de longueurs à des surfaces ; les quatre triangles doivent être rectangles pour former le carré central décrit.

Pour trouver l'hypoténuse, additionne les carrés puis prends la racine positive. Pour trouver un côté de l'angle droit, soustrais son carré à celui de l'hypoténuse, puis prends la racine. Écris d'abord les noms des côtés : ils décident du sens de la soustraction. Une longueur négative ou un carré négatif signale une identification ou une donnée incompatible.

Triangle ABC rectangle en A : AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm. Pour l'angle B, le côté opposé est AC et l'adjacent est AB. — **Deux côtés perpendiculaires, une hypoténuse**
Figure originale Maxdecours, calculs exacts ; schéma non à l'échelle.

Exemple résolu · Pas à pas

Calculer un côté de l'angle droit

DEF est rectangle en D, EF = 13 cm et DE = 5 cm. Calcule DF.

EF est l'hypoténuse : ${EF}^{2} = {DE}^{2} + {DF}^{2}$ .
Isole le carré cherché : ${DF}^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$ .
Une longueur est positive : $DF = \sqrt{144} = 12$ cm.

DF vaut 12 cm. La conclusion comporte l'unité et ne conserve pas la solution négative d'une équation de carré.

À retenir. Le triangle doit être rectangle ; le carré de l'hypoténuse est la somme des deux autres carrés.

Étape 2

Démontrer un angle droit ou montrer qu'il n'y en a pas

La réciproque change la question : on connaît trois longueurs, mais on ne suppose pas le triangle rectangle. Identifie d'abord le plus long côté. Si son carré est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle au sommet opposé à ce plus long côté. La conclusion doit nommer ce sommet, pas seulement annoncer « rectangle ».

Calcule séparément les deux membres, avec des longueurs dans la même unité. Pour un triangle de côtés 7,5 cm, 10 cm et 12,5 cm, le plus grand carré vaut 156,25 ${cm}^{2}$ ; la somme des deux autres vaut 56,25 + 100 = 156,25 ${cm}^{2}$ . L'égalité permet d'appliquer la réciproque. On n'a pas utilisé Pythagore en supposant ce que l'on voulait démontrer.

Si les deux nombres exacts diffèrent, le triangle n'est pas rectangle : un triangle rectangle satisferait nécessairement l'égalité du théorème. Pour 4, 5 et 6 cm, $6^{2}$ = 36 tandis que $4^{2}$ + $5^{2}$ = 41. Le dessin peut paraître proche d'un angle droit, mais le calcul le réfute. Avec des longueurs issues de mesures arrondies, une petite différence demande une analyse de la précision ; ce n'est pas une preuve exacte du modèle.

À retenir. Plus long côté d'abord, deux calculs séparés ensuite ; l'égalité exacte justifie la réciproque.

Étape 3

Nommer les côtés par rapport à un angle aigu

L'hypoténuse ne change pas quand tu changes d'angle de référence. En revanche, les côtés opposé et adjacent échangent leurs rôles. Dans ABC rectangle en A, pour l'angle B, AC est opposé et AB est adjacent. Pour l'angle C, AB est opposé et AC est adjacent. Le côté adjacent dont on parle dans ces rapports est le côté de l'angle droit, pas l'hypoténuse qui touche aussi l'angle.

Pour un angle aigu θ d'un triangle rectangle, le cosinus est adjacent/hypoténuse, le sinus est opposé/hypoténuse et la tangente est opposé/adjacent. Ces rapports restent les mêmes dans tous les triangles rectangles ayant cet angle : ils sont semblables, donc leurs longueurs sont multipliées par un même coefficient qui s'annule dans les quotients. Le rapport dépend de l'angle, pas de la taille du triangle.

Dans la figure 6-8-10, pour B, cos B = $\frac{6}{10}$ = 0,6, sin B = $\frac{8}{10}$ = 0,8 et tan B = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$ . Sinus et cosinus d'un angle aigu sont entre 0 et 1 puisque l'hypoténuse est la plus grande longueur. La tangente peut dépasser 1 : dans ce cas l'opposé dépasse l'adjacent. Les rapports n'ont pas d'unité, car ils divisent deux longueurs dans une unité commune.

À retenir. Écris l'angle, puis les trois noms de côtés, avant de choisir le rapport.

Étape 4

Calculer une longueur avec un angle connu

Quand un angle aigu et une longueur sont donnés, commence par un croquis annoté puis par un rapport. Si l'hypoténuse h est connue et l'opposé o cherché, sin θ = $o / h$ , donc $o = h \times \sin (θ)$ . Si l'adjacent a est connu et l'hypoténuse cherchée, cos θ = $a / h$ , donc $h = \frac{a}{\cos (θ)}$ . Multiplier systématiquement la longueur par un sinus ou un cosinus ne convient pas à toutes les positions de l'inconnue.

Pour isoler l'inconnue dans un dénominateur, multiplie d'abord les deux membres par ce dénominateur, puis divise par le coefficient restant. Avec cos 40° = 5/h, on obtient h × cos 40° = 5, puis h = 5/cos 40°. Cette démarche rappelle la résolution d'équation et limite les inversions. Pour une tangente, o = a × tan θ ou a = o/tan θ selon le côté demandé.

La calculatrice doit être réglée en degrés si les angles de l'énoncé sont en degrés. Conserve les chiffres de calcul pendant les étapes ; arrondis seulement la longueur finale. Contrôle ensuite que l'hypoténuse dépasse chacun des côtés et que le résultat a une unité de longueur. Une situation de hauteur réelle nécessite aussi la hauteur de l'instrument et l'hypothèse d'un sol horizontal : la formule ne compense pas un modèle mal choisi.

À retenir. Le rapport est une équation : isole la longueur avant de calculer et d'arrondir.

Étape 5

Retrouver un angle et choisir entre les outils

Pour retrouver un angle à partir de deux côtés, calcule d'abord le rapport approprié. Si l'adjacent vaut 8 cm et l'hypoténuse 10 cm, cos θ = 0,8. La fonction inverse du cosinus de la calculatrice, souvent notée arccos ou $\cos^{- 1}$ , donne θ ≈ 36,87°. Ici $\cos^{- 1}$ désigne une fonction inverse, pas 1/cos. Annonce la précision demandée : au degré près, l'angle vaut environ 37°.

Le choix de l'outil dépend de la question et des données. Deux côtés et un angle droit permettent Pythagore pour trouver le troisième côté. Trois côtés exacts permettent la réciproque pour démontrer l'angle droit. Un angle aigu et une longueur permettent un rapport trigonométrique pour trouver une autre longueur ; deux longueurs et un angle droit permettent aussi un rapport pour trouver un angle aigu. Si le triangle n'est pas rectangle, ces rapports de côtés ne peuvent pas être appliqués sous cette forme.

Pour contrôler un angle, vérifie qu'il est strictement entre 0° et 90° dans un triangle rectangle non dégénéré. L'autre angle aigu complète 90° puisque la somme des angles d'un triangle vaut 180°. Vérifie enfin l'ordre des côtés : le plus grand côté de l'angle droit est opposé au plus grand angle aigu. Si ton calcul annonce 10° pour l'angle opposé au côté le plus long des deux, reviens aux noms de côtés ou au mode de la calculatrice.

À retenir. Un angle se retrouve avec la fonction inverse du rapport ; les données et les conditions décident de l'outil.

L’essentiel à retrouver

Ta fiche de révision

Pythagore exige un triangle rectangle et additionne des carrés.
La réciproque utilise le plus long côté et une égalité de carrés pour démontrer l'angle droit.
Pour un angle aigu : cos = adjacent/hypoténuse ; sin = opposé/hypoténuse ; tan = opposé/adjacent.
Le sinus et le cosinus sont compris entre 0 et 1 ; la tangente peut être plus grande que 1.
Isole l'inconnue, règle la calculatrice en degrés et arrondis à la fin.

Des erreurs à comprendre

Choisir l'hypoténuse parce qu'elle paraît horizontale.

Elle est opposée à l'angle droit, quelle que soit la rotation du dessin.

Additionner deux longueurs dans Pythagore.

Additionne leurs carrés, puis prends la racine positive.

Nommer adjacent un côté sans choisir l'angle.

Écris le sommet de l'angle puis distingue l'adjacent de l'hypoténuse.

Employer une valeur de sinus arrondie trop tôt.

Conserve les chiffres dans la calculatrice jusqu'au résultat final ; indique ≈ et la précision.

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Sources et repères

Édition Maxdecours · Année scolaire 2026-2027 · Vérification documentaire : 2026-10-03.

Attendus de fin d'année de troisième en mathématiques · Éduscol, DGESCO · p. 8-9 PDF, Pythagore, angles et trigonométrie ; consultation le 3 octobre 2026.

Enseigner au cycle 4 : programmes à la rentrée 2026-2027 · Éduscol, DGESCO · Programme maintenu pour la troisième générale 2026-2027.

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