Nombres rationnels : calculer exactement et choisir le bon modèle

Une fraction $a\text{/}b$ représente le quotient de a par b, avec b non nul. Lorsque a et b sont des entiers, ce nombre est rationnel. Le dénominateur indique en combien de parts égales une unité est partagée ; le numérateur compte ces parts. Ainsi, $\frac{11}{4}$ vaut onze quarts, soit deux unités et trois quarts. Une fraction peut donc dépasser 1. Elle n'est pas seulement une manière de désigner une part d'objet.

Le signe porte sur tout le quotient. Tu peux placer un unique signe moins devant la fraction ou au numérateur ; un dénominateur négatif peut être rendu positif en changeant aussi le signe du numérateur. Deux signes négatifs se compensent : $\frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}$. On préfère un dénominateur positif pour lire et comparer. Zéro peut être au numérateur : $\frac{0}{5}=0$. Il ne peut jamais être au dénominateur : aucun nombre multiplié par 0 ne donne 5, donc $\frac{5}{0}$ n’a pas de valeur dans les nombres étudiés.

Un décimal fini est rationnel : son écriture utilise un nombre entier de dixièmes, centièmes ou millièmes. Pour 0,125, pars de 125 millièmes puis simplifie les deux termes. Un rationnel peut ne pas avoir d’écriture décimale finie : $\frac{1}{3}$ est exact, alors que 0,333 est approché. Trois fois 0,333 donne 0,999, pas 1. Garde les fractions dans le calcul pour ne pas accumuler d’erreurs d’arrondi ; la calculatrice permet ensuite d’estimer ou de vérifier.

Multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul conserve le quotient : (a × k)/(b × k) = $a\text{/}b$. On multiplie simultanément le nombre de parts et la finesse du partage. Trois quarts peuvent devenir six huitièmes : $\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{8}$. Diviser les deux entiers par un diviseur commun produit aussi une écriture équivalente. Ainsi, $\frac{-18}{24}$ = $\frac{-3}{4}$ en divisant par 6 ; diviser seulement 18 changerait le nombre.

Pour comparer deux fractions, commence par rendre leurs dénominateurs positifs. Puis choisis une même unité de partage. Pour $\frac{-5}{6}$ et $\frac{-3}{4}$, douze convient : transforme les deux écritures en douzièmes, puis compare leurs numérateurs. Avec deux nombres négatifs, le plus éloigné de zéro est le plus petit. Le calcul suivant conserve les signes à chaque étape.

Une autre méthode compare les produits croisés lorsque les dénominateurs sont positifs : $a\text{/}b$ < $c\text{/}d$ équivaut à ad < cb. Elle vient du dénominateur commun bd, pas d'une recette sans condition sur les signes. On peut aussi comparer à un repère : $\frac{9}{8}$ dépasse 1, tandis que $\frac{11}{12}$ lui est inférieur. Des valeurs décimales arrondies identiques ne prouvent pas une égalité. Pour prouver que deux fractions sont égales, transforme exactement leurs écritures ou vérifie leurs produits croisés.

Un exemple numérique montre qu'une règle fonctionne dans un cas ; il ne suffit pas à la prouver pour tous les nombres. Pour démontrer une propriété du calcul fractionnaire, on peut utiliser la définition du quotient : x = $a\text{/}b$ signifie bx = a lorsque b est non nul. Le quotient est unique : si bx = by et b est non nul, diviser par b donne x = y. Cette condition est indispensable et doit apparaître dans la preuve.

Montrons que multiplier les deux termes par un même k non nul conserve le quotient. Pour b et k non nuls, pose $x=\frac{a}{b}$. La définition donne $\mathrm{bx}=a$. Le but est d’identifier le quotient de ak par bk, sans supposer la règle à démontrer. Multiplier une égalité par k, puis utiliser l’unicité du quotient, fournit les étapes suivantes.

Une preuve semblable justifie la somme au même dénominateur. Pose $x=\frac{a}{b}$ et $y=\frac{c}{b}$, avec b non nul. Les égalités $\mathrm{bx}=a$ et $\mathrm{by}=c$ sont données par la définition. La distributivité relie leur somme au quotient cherché ; on n’utilise pas une règle que l’on cherche justement à prouver. Les écritures équivalentes permettront ensuite de traiter des dénominateurs différents.

Pour additionner des fractions, il faut compter des parts de même taille. Avec un dénominateur commun b, $a\text{/}b$ + $c\text{/}b$ = (a + c)/b. Les parts restent des b-ièmes : le dénominateur ne s'additionne pas. Un demi et un quart donnent trois quarts, pas deux sixièmes. Si les dénominateurs diffèrent, transforme d'abord les deux fractions en écritures équivalentes au même dénominateur. Leur produit convient toujours, mais un plus petit multiple commun peut alléger les calculs.

Pour $\frac{-5}{6}+\frac{3}{4}$, choisis le dénominateur commun 12 et transforme les deux fractions avant d’additionner. La quantité négative est un peu plus grande en valeur absolue que la positive : le résultat doit donc être négatif et proche de zéro. Ce contrôle de signe aide à repérer une erreur avant de reprendre chaque ligne.

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Conserve donc les parenthèses dans $\frac{2}{3}-\left(\frac{-1}{4}\right)$ jusqu’au changement de signe. Après transformation, cherche une même unité de partage puis simplifie si un diviseur commun subsiste. Une réponse entière peut être écrite comme telle. Le résultat exact reste prioritaire ; l’arrondi n’intervient que si la consigne le demande.

Multiplier par une fraction peut signifier prendre une fraction d'une quantité. Trois quarts de deux tiers d'une unité donnent $\left(\frac{3}{4}\right)$ × $\left(\frac{2}{3}\right)$. On peut partager l'unité en douze parts et en retenir six : le résultat vaut $\frac{6}{12}$ = $\frac{1}{2}$. La règle générale est (a/b) × (c/d) = (ac)/(bd), avec b et d non nuls. Elle multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, contrairement à la règle de l'addition.

Les signes suivent les règles des nombres relatifs. Dans $\left(\frac{-2}{3}\right)\times \left(\frac{-9}{10}\right)$, les deux facteurs négatifs donnent un produit positif. Calcule alors la fraction positive et simplifie-la. Un facteur nul donne zéro. Pour un nombre non nul, multiplier par un nombre positif inférieur à 1 réduit la valeur absolue ; multiplier par $\frac{3}{2}$ l’augmente. Une multiplication n’augmente donc pas toujours un nombre.

Dans un produit, on peut simplifier des facteurs communs entre tout le numérateur et tout le dénominateur avant de multiplier. Pour $\left(\frac{14}{15}\right)\times \left(\frac{9}{7}\right)$, repère le facteur 7 dans 14 et le facteur 3 dans 9 et 15. Cette simplification ne porte jamais sur des termes séparés par + ou −. Dans $\frac{6+2}{6}$, calcule le numérateur entier avant toute réduction ; barrer les deux 6 changerait le quotient.

L'inverse d'un nombre non nul est le nombre dont le produit avec lui vaut 1. L'inverse de $\frac{3}{5}$ est $\frac{5}{3}$, puisque $\left(\frac{3}{5}\right)$ × $\left(\frac{5}{3}\right)$ = 1. L'inverse de $\frac{-4}{7}$ est $\frac{-7}{4}$ ; les signes négatifs produisent bien un produit positif. L'opposé est différent : l'opposé de $\frac{-4}{7}$ est $\frac{4}{7}$ et leur somme vaut zéro. Zéro n'a pas d'inverse, car 0 multiplié par n'importe quel nombre vaut 0.

Diviser par $c\text{/}d$, avec c et d non nuls, revient à multiplier par $d\text{/}c$. Si $q\times \frac{c}{d}=\frac{a}{b}$, multiplier les deux membres par l’inverse du diviseur isole q. On inverse seulement le diviseur, pas les deux fractions. Applique cette démarche à $\left(\frac{7}{9}\right)÷\left(\frac{-14}{15}\right)$ en contrôlant d’abord que le diviseur n’est pas nul.

Le contrôle peut se faire par multiplication : $\left(\frac{-5}{6}\right)$ × $\left(\frac{-14}{15}\right)$ = $\frac{7}{9}$. Une division par un nombre positif inférieur à 1 peut agrandir le résultat : 3 ÷ $\left(\frac{1}{2}\right)$ = 6, car six demi-unités forment trois unités. Quand des unités sont présentes, distingue les situations : une quantité en litres divisée par le volume d'une portion en litres donne un nombre de portions, tandis que partager une quantité entre un nombre de personnes conserve l'unité litre par personne.

Les fractions suivent les mêmes priorités que les autres nombres : calculer d'abord les parenthèses, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions. À priorité égale, on avance de gauche à droite. Une barre de fraction regroupe tout son numérateur et tout son dénominateur : (2 + 1)/(4 + 2) vaut $\frac{3}{6}$. Elle ne signifie pas 2 + $\frac{1}{4}$ + 2. Recopie une ligne de calcul complète à chaque étape pour ne pas oublier un terme.

Dans $\frac{3}{4}-(\frac{1}{2}+\frac{1}{6})÷2$, l’opération principale est la soustraction. Il faut pourtant commencer par la parenthèse, puis effectuer la division par 2, avant de soustraire. Recopie l’expression entière pour garder les termes encore en attente. La dernière soustraction demande un dénominateur commun ; le produit par l’inverse de 2 n’en demande pas.

Avant de calculer, repère l'opération principale et trace sur ton cahier les étapes nécessaires. Estime le signe et un ordre de grandeur. Après le calcul exact, vérifie éventuellement sur la calculatrice avec toutes les parenthèses. Saisir 3 ÷ 4 − 1 ÷ 2 + 1 ÷ 6 ÷ 2 n'écrit pas l'expression précédente : la machine ne devine pas tes regroupements. Un affichage décimal est un contrôle approché, pas la justification des égalités exactes.

Dans un problème, une fraction se rapporte toujours à une quantité de référence. « Un tiers des places restantes » ne signifie pas « un tiers des places initiales ». Nomme le tout avant chaque opération, puis calcule la quantité correspondante. Une unité aide à distinguer une quantité, comme 24 places, d'une proportion, comme $\frac{1}{5}$ des places initiales. Pour des objets indivisibles, vérifie que les effectifs calculés sont entiers dans le modèle.

Exemple fictif : 120 places sont proposées. La première vente utilise $\frac{2}{5}$ du stock initial, soit 48 places ; il en reste 72. La seconde vente utilise $\frac{1}{3}$ de ce reste, soit 24 places. Au total, 72 places sont vendues et 48 restent disponibles. La seconde vente représente $\frac{1}{5}$ du stock initial, pas $\frac{1}{3}$. On peut contrôler le résultat avec la proportion restante, en nommant le tout à chaque étape.

Lorsque tu rédiges, indique ce que représente chaque nombre et pourquoi l'opération convient. Une réponse numérique seule ne prouve pas que le tout a été correctement choisi. Pour une quantité continue, comme un volume, un résultat fractionnaire convient ; pour des portions complètes, il faut parfois prendre seulement le nombre entier possible et calculer le reste. Termine par une vérification : les quantités vendues et restantes reconstituent le stock initial, les unités sont cohérentes et les proportions se situent entre 0 et 1.