Objectifs du chapitre
Ce que tu vas savoir faire
- Vérifier une division euclidienne et distinguer multiple et diviseur.
- Employer les critères et justifier une primalité.
- Décomposer un entier en facteurs premiers et contrôler le produit.
- Rendre une fraction irréductible avec une preuve.
- Résoudre des partages sans reste et des problèmes de cycles en distinguant diviseur et multiple.
- Tracer une procédure de décomposition avec des entrées valides.
Explique si 6 divise 42, si 1 est premier et si 12 = 2 × 6 est déjà un produit de facteurs premiers. Réponses : oui, car 42 = 6 × 7 ; non, 1 n’a qu’un diviseur positif ; non, 6 est composé. Reprends la relation qui manque avant la décomposition.
Étape 1
Relier division euclidienne, multiples et diviseurs
Pour deux entiers a positif ou nul et b strictement positif, la division euclidienne écrit a = bq + r avec un quotient entier q positif ou nul et un reste r vérifiant 0 ≤ r < b. Le quotient indique combien de groupes complets de taille b entrent dans a. Le reste compte ce qui ne remplit pas un groupe. Pour 84 objets regroupés par 5, on écrit 84 = 5 × 16 + 4. Un reste de 9 serait trop grand : il permettrait de constituer encore un groupe.
Si le reste est zéro, a est un multiple de b et b est un diviseur de a. Ainsi, 84 = 6 × 14 montre que 6 et 14 divisent 84. Dire « 6 est un multiple de 84 » inverse la relation. Le mot diviseur concerne ici un entier positif ; on ne divise jamais par zéro. En revanche, zéro est un multiple de tout entier positif, puisque b × 0 = 0. Ces cas particuliers ne servent pas à définir un nombre premier.
Pour vérifier une division, contrôle l'égalité a = bq + r et les deux bornes du reste. Une égalité seule ne suffit pas : 84 = 5 × 15 + 9 est vraie mais n'est pas une division euclidienne valide par 5. Dans un problème de paquets, le quotient doit être entier ; un résultat décimal donne une autre information. Rédige donc « 16 paquets complets et 4 objets restants », et non « 16,8 paquets complets ».
Tableau fictif original Maxdecours.
| Taille du groupe | Groupes complets | Reste | Vérification |
|---|---|---|---|
| 5 | 16 | 4 | 84 = 5 × 16 + 4 |
| 6 | 14 | 0 | 84 = 6 × 14 |
Vérifie l’égalité puis les bornes de chaque reste.
Exemple résolu · Pas à pas
Contrôler les bornes du reste
Diviser 137 par 8 avec un quotient et un reste entiers.
- 8 × 17 = 136.
- 137 = 8 × 17 + 1.
- 0 ≤ 1 < 8 ; le quotient 17 et le reste 1 sont valides.
8 ne divise pas 137 car le reste n’est pas nul.
À retenir. Le reste est inférieur au diviseur ; il est nul exactement lorsque la division est entière.
Étape 2
Utiliser les critères sans les confondre
Certains critères permettent de repérer rapidement une division entière. Un entier écrit en base dix est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair ; par 5 si ce chiffre est 0 ou 5 ; par 10 s'il est 0. Le chiffre des unités suffit car les dizaines, centaines et milliers sont des multiples de 2, 5 et 10. Un nombre impair peut être divisible par 3 : la parité ne répond pas à toutes les questions de divisibilité.
Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres l'est ; le même principe vaut pour 9. Pour 5 814, la somme vaut 5 + 8 + 1 + 4 = 18 : il est divisible par 3 et par 9. Ce critère vient de 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, etc. Remplacer chaque puissance de dix par 1 change le nombre d'un multiple de 9, donc aussi d'un multiple de 3. Pour 111, la somme 3 montre une divisibilité par 3, mais pas par 9.
Ces critères ne prouvent pas qu'un nombre est premier lorsqu'ils échouent. Par exemple, 77 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5 ; pourtant 77 = 7 × 11. Pour conclure à une divisibilité, tu peux aussi produire une multiplication exacte ou une division de reste zéro. Dans une justification, précise le critère choisi et son calcul : « la somme des chiffres vaut 18, multiple de 9 » est plus utile que « je le vois ».
À retenir. Les critères évitent certains calculs ; leur échec ne prouve pas qu’un nombre est premier.
Étape 3
Reconnaître un nombre premier et justifier le test
Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Un nombre composé possède d'autres diviseurs. Ainsi, 13 est premier, alors que 15 = 3 × 5 est composé. Le nombre 1 a un seul diviseur positif et n'est pas premier ; zéro n'est pas premier non plus. Le nombre 2 est le seul premier pair : tout entier pair supérieur à 2 possède déjà 1, 2 et lui-même comme diviseurs distincts.
Les premiers jusqu'à 29 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29. Pour examiner un entier n plus grand, il suffit de chercher des diviseurs premiers dont le carré est inférieur ou égal à n. En effet, si n = uv avec u et v supérieurs à 1, ils ne peuvent pas être tous deux plus grands que : leur produit dépasserait n. Au moins un facteur est donc inférieur ou égal à ; s'il est composé, l'un de ses facteurs premiers est encore plus petit.
Pour 97, on teste 2, 3, 5 et 7 ; le premier suivant est 11 et > 97. Aucun des quatre premiers ne divise 97, donc 97 est premier. Pour montrer qu'un nombre n'est pas premier, un seul contre-exemple suffit : 91 = 7 × 13. À l'inverse, tester seulement la parité ne suffit pas à prouver qu'un nombre est premier. Explique la limite de recherche et les divisions vérifiées, sans tester tous les entiers jusqu'à n.
Calculs originaux Maxdecours.
| Diviseur premier testé | Quotient entier | Reste |
|---|---|---|
| 2 | 48 | 1 |
| 3 | 32 | 1 |
| 5 | 19 | 2 |
| 7 | 13 | 6 |
Vérifie que tous les restes sont non nuls et que dépasse 97.
À retenir. Un facteur suffit pour réfuter ; prouver la primalité demande tous les tests premiers nécessaires jusqu’à la racine.
Étape 4
Décomposer en produit de facteurs premiers
Décomposer un entier supérieur ou égal à 2 consiste à l'écrire comme un produit dont tous les facteurs sont premiers. Procède par divisions successives : teste 2, puis 3, 5, 7… et conserve un facteur tant qu'il divise le quotient restant. Pour 360 : 360 ÷ 2 = 180, puis 90, puis 45. On poursuit par 3 : 45 ÷ 3 = 15, puis 5 ; enfin 5 ÷ 5 = 1. Le produit est donc 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5.
On regroupe les facteurs identiques avec des puissances. Un arbre de produits fournit une autre démarche : pars de deux facteurs connus, puis décompose chacun jusqu’à n’obtenir que des premiers. L’ordre des facteurs ne change pas le produit. La décomposition est unique à l’ordre près ; elle permet ensuite de comparer les facteurs de deux nombres. Le nombre 1 marque la fin des divisions, pas un facteur premier à ajouter.
| = | ||
| On part d’un produit facile à vérifier. | ||
| = | ||
| 36 et 10 sont décomposés en facteurs premiers. | ||
| = | ||
| On regroupe les trois facteurs 2 et les deux facteurs 3. | ||
Conclusion. Le contrôle donne 8 × 9 × 5 = 360 ; tous les facteurs retenus sont premiers.
Pour contrôler ta réponse, effectue deux vérifications distinctes. Tous les facteurs doivent être premiers ; leur produit doit reconstruire l'entier de départ. L'écriture 360 = 8 × 45 est vraie, mais elle n'est pas une décomposition en facteurs premiers, car 8 et 45 sont composés. Le passage à une puissance est un regroupement de facteurs, pas une nouvelle multiplication : signifie trois facteurs 2, pas 2 × 3. Une erreur de nombre de facteurs change tout le produit.
À retenir. La décomposition est terminée lorsque tous les facteurs sont premiers et que leur produit reconstitue le nombre.
Étape 5
Rendre une fraction irréductible et le prouver
Une fraction d’entiers à dénominateur positif est irréductible lorsque ses deux termes n’ont aucun diviseur commun supérieur à 1. Pour , décompose les deux nombres : 126 possède les facteurs 2, 3, 3 et 7 ; 210 possède les facteurs 2, 3, 5 et 7. Les facteurs communs 2, 3 et 7 ont pour produit 42. Les retirer simultanément du numérateur et du dénominateur conserve le quotient.
| = | ||
| Le même facteur non nul 42 apparaît dans les deux produits. | ||
| = | ||
| On divise les deux termes par 42. | ||
Conclusion. 3 et 5 sont premiers distincts : la fraction est irréductible, pas seulement plus courte.
On peut également diviser directement par le produit commun 42 : 126 ÷ 42 = 3 et 210 ÷ 42 = 5. Des simplifications successives sont tout aussi recevables si tu prouves qu'il ne reste aucun facteur commun. S'arrêter à après avoir divisé par 6 ne suffit pas, car 7 divise encore les deux termes. Un résultat décimal exact ou approché peut vérifier la valeur, mais la consigne « rendre irréductible » demande une écriture fractionnaire et une justification.
Ne teste pas seulement les facteurs 2 et 3. La fraction reste réductible par 11, même si aucun terme n'est divisible par 2, 3 ou 5. Un signe négatif peut rester au numérateur : devient . Si le numérateur est nul, 0/b = pour b non nul ; les activités de décomposition portent ici sur des numérateurs positifs afin de travailler les facteurs. Les problèmes de groupes ci-après supposent aussi deux quantités strictement positives.
À retenir. Une simplification conserve la valeur ; l’absence de facteur premier commun prouve que la fraction finale est irréductible.
Étape 6
Chercher le plus grand partage identique
Deux stocks doivent être répartis en paquets identiques, sans reste. Le nombre de paquets doit alors diviser chacun des stocks. Si l'on veut le plus grand nombre de paquets, on cherche le plus grand diviseur commun. Par exemple, des stocks fictifs de 84 objets rouges et 126 objets bleus donnent 84 = × 3 × 7 et 126 = 2 × × 7. Un diviseur commun ne peut prendre que les facteurs présents dans les deux produits, avec le plus petit nombre d'occurrences.
Le produit des facteurs communs avec leurs exposants minimaux donne le nombre maximal de paquets. Une fois ce nombre trouvé, divise chaque stock pour déterminer le contenu d’un paquet. Vingt-et-un paquets seraient aussi possibles, mais cela ne prouverait pas le maximum. Tout diviseur commun est formé de facteurs présents dans les deux nombres, sans dépasser ces exposants.
| = | ||
| Les stocks de 84 et 126 ont ces facteurs communs au maximum. | ||
| = | ||
| d est le nombre maximal de paquets identiques sans reste. | ||
| = | ||
| Chaque paquet reçoit deux objets rouges. | ||
| = | ||
| Chaque paquet reçoit trois objets bleus. | ||
Conclusion. 42 paquets de deux rouges et trois bleus reconstituent exactement les deux stocks.
Cette méthode est souvent appelée recherche du PGCD, plus grand commun diviseur. Le nom aide à communiquer ; la compréhension vient de la contrainte « identiques, sans reste, nombre maximal ». Ne multiplie pas les deux stocks et ne cherche pas un multiple commun : le nombre de paquets doit être inférieur ou égal à chacun des stocks. Après le calcul, reconstitue les deux stocks avec le nombre de paquets et leur composition. Ce contrôle vérifie également que toutes les unités correspondent à des nombres d'objets entiers.
À retenir. Un nombre de paquets sans reste est un diviseur commun ; le maximum prend les exposants communs les plus petits.
Étape 7
Chercher la première coïncidence de deux cycles
Deux événements périodiques commencent ensemble. Le temps d'une nouvelle coïncidence doit être un multiple de chacune des périodes. Dans un modèle fictif, un signal revient toutes les 12 minutes et un autre toutes les 18 minutes. Les premiers multiples positifs sont 12, 24, 36… et 18, 36… La première coïncidence après le départ est donc à 36 minutes. Zéro est une coïncidence initiale, mais il est exclu lorsque l'on demande la suivante.
Les facteurs premiers donnent une méthode générale. Les deux périodes contiennent le facteur 2 et le facteur 3, mais pas avec les mêmes nombres d’occurrences. Un multiple commun doit contenir assez de facteurs pour être divisible par chacune : on retient les plus grands exposants. Ce plus petit multiple commun positif est souvent nommé PPCM. Prendre les plus petits exposants donnerait un diviseur commun, pas le temps de la prochaine coïncidence.
| = | ||
| La première période exige deux facteurs 2 et un facteur 3. | ||
| = | ||
| La seconde exige un facteur 2 et deux facteurs 3. | ||
| = | ||
| Le premier multiple commun positif réunit les exposants maximaux. | ||
| = | ||
| 36 est divisible par 12 et par 18. | ||
Conclusion. La nouvelle coïncidence est à 36 minutes pour ces périodes fixes et leur départ commun.
Le produit des périodes est un multiple commun, mais pas toujours le plus petit : 12 × 18 = 216 est trop grand ici. Vérifie le temps retenu en le divisant par chaque période : = 3 cycles et = 2 cycles. Si le départ est à 10 h, le nouvel instant est 10 h 36. La méthode suppose des périodes fixes et un départ commun ; si les événements commencent à des instants différents, il faut chercher les instants de leurs listes et ne pas appliquer automatiquement le même calcul.
À retenir. Une coïncidence après un départ commun demande un multiple commun positif, pas un diviseur.
Étape 8
Lire et contrôler une procédure de décomposition
Une procédure peut automatiser les divisions successives, mais il faut en comprendre les conditions. La version décrite ci-dessous accepte seulement un entier n supérieur ou égal à 2. Elle conserve le nombre initial N, place d à 2, puis cherche des divisions de reste nul. Si d divise n, elle inscrit d dans une liste et remplace n par sans changer d. Sinon, elle augmente d de 1. Elle s'arrête lorsque le quotient restant vaut 1.
Pourquoi ne pas augmenter d après une division réussie ? Le même facteur peut apparaître plusieurs fois : pour 45, après un premier facteur 3, il reste 15, encore divisible par 3. La liste finale est 3, 3, 5. Les valeurs composées testées ne sont jamais retenues : leurs facteurs plus petits ont déjà été retirés tant que c'était possible. La méthode simple est lente pour de très grands nombres ; les activités utilisent de petits entiers et n'affirment pas mesurer la performance d'un logiciel réel.
Un programme doit refuser zéro, un entier négatif ou une valeur non entière avant de lancer cette recherche. Pour contrôler une trace, vérifie chaque quotient entier et la conservation du produit « facteurs déjà inscrits × quotient restant = N ». La liste finale doit reconstruire N et contenir seulement des nombres premiers. Cette lecture de procédure accompagne la décomposition ; elle ne remplace pas les autres apprentissages d'algorithmique de troisième, comme les événements, les scripts parallèles et la construction de figures.
Pseudocode original Maxdecours, à exécuter sur papier.
Entrée : un entier N ≥ 2. Placer n = N, d = 2, liste vide.
Tant que n > 1 : si le reste de la division de n par d vaut zéro, inscrire d dans la liste puis remplacer n par n/d ; sinon augmenter d de 1.
Quand n = 1 : le produit des nombres de la liste vaut N.
Trace n, d et la liste pour 45 ; chaque ligne de la trace doit conserver le produit initial.
À retenir. Après une division réussie, on garde le diviseur pour détecter les répétitions ; les entrées doivent être contrôlées.
L’essentiel à retrouver
Ta fiche de révision
- La division euclidienne exige a = bq + r avec 0 ≤ r < b, pour b > 0.
- Un premier est un entier au moins égal à 2 avec exactement deux diviseurs positifs.
- La décomposition se vérifie par la primalité des facteurs et par leur produit.
- Une fraction irréductible ne conserve aucun facteur premier commun dans ses deux termes.
- Partage maximal : diviseur commun ; première coïncidence après un départ commun : multiple commun positif.
Des erreurs à comprendre
Inverser multiple et diviseur.
Écris une multiplication : 56 = 7 × 8 prouve que 7 divise 56.
Déclarer premier un nombre qui n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.
Teste tous les diviseurs premiers nécessaires jusqu’à la racine ; 77 = 7 × 11 est un contre-exemple.
Arrêter une décomposition avec un facteur composé.
Poursuis jusqu’à des facteurs tous premiers, puis reconstruis le produit.
Arrêter une simplification sans prouver l’irréductibilité.
Recherche les facteurs premiers communs encore présents.
Chercher un diviseur pour un temps de coïncidence.
Le temps écoulé doit être un multiple de chaque période, tandis que le nombre de paquets doit diviser les stocks.
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Sources et repères
Édition Maxdecours · Année scolaire 2026-2027 · Vérification documentaire : 2026-10-18.
Attendus de fin d'année de troisième en mathématiques · Éduscol, DGESCO · Pages 2-3 PDF, facteurs premiers, fractions irréductibles et problèmes de divisibilité ; exemples originaux, progression proposée.
Programme du cycle des approfondissements, BO n° 31 du 30 juillet 2020 · Ministère de l'Éducation nationale · Page 131 PDF, multiples/diviseurs, critères, division euclidienne, nombres premiers, fractions irréductibles et problèmes ; lecture et contrôle d’une procédure de décomposition.
Les divisions, traces d’algorithme et preuves se rédigent sur un cahier. Une liste de facteurs seule ne prouve pas le choix d’un modèle ; relis le raisonnement avec la grille et, si nécessaire, avec ton professeur.