{"id":1914,"date":"2023-11-22T21:58:28","date_gmt":"2023-11-22T20:58:28","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost:8080\/maxblog\/?p=1914"},"modified":"2023-11-22T23:46:58","modified_gmt":"2023-11-22T22:46:58","slug":"manipulation-des-vecteurs-dans-le-plan","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.maxdecours.com\/maxblog\/manipulation-des-vecteurs-dans-le-plan\/","title":{"rendered":"Manipulation des vecteurs dans le plan"},"content":{"rendered":"\t\t
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Manipulation des vecteurs dans le plan<\/div>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Introduction<\/span><\/h1>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

La ma\u00eetrise de ces concepts permet de manipuler et de comprendre les\nvecteurs dans le plan, facilitant l’analyse et la r\u00e9solution de probl\u00e8mes\ng\u00e9om\u00e9triques.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

Cours<\/span><\/h1>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

1. Vecteur \\vec{MM'} <\/span> associ\u00e9 \u00e0 une translation<\/span><\/h2>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

Le vecteur \\vec{MM'} <\/span> est l’entit\u00e9 g\u00e9om\u00e9trique qui\ncorrespond \u00e0 la translation qui transforme le point M en M’. Ce vecteur poss\u00e8de\ntrois caract\u00e9ristiques :
\n
\n<\/span><\/p>\n\n

   <\/span>– Direction<\/i> : La droite qui\npasse par les points M et M’ indique la direction du vecteur.<\/span><\/p>\n\n

   <\/span>– Sens<\/i> : Le sens du vecteur\nva de M \u00e0 M’.<\/span><\/p>\n\n

   <\/span>– Norme<\/i> : La norme du\nvecteur, not\u00e9e \\lVert \\vec{MM'} \\rVert <\/span>, est la distance entre\nles points M et M’.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

2. \u00c9galit\u00e9 de deux vecteurs<\/span><\/h2>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

Deux vecteurs \\vec{u} <\/span> et \\vec{v} <\/span> sont\n\u00e9gaux si et seulement s’ils ont la m\u00eame direction, le m\u00eame sens et la m\u00eame\nnorme. On \u00e9crit alors \\vec{u} = \\vec{v} <\/span>.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

3. Vecteur nul<\/span><\/h2>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

Le vecteur nul, not\u00e9 \\vec{0} <\/span>, est un vecteur dont la norme\nest \u00e9gale \u00e0 z\u00e9ro. Il n’a ni direction ni sens particulier.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

4. Somme de deux vecteurs et relation de Chasles<\/span><\/h2>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

La somme de deux vecteurs \\vec{u} <\/span> et \\vec{v} <\/span>\nest le vecteur \\vec{w} <\/span> obtenu en encha\u00eenant les translations\ncorrespondant \u00e0 \\vec{u} <\/span> et \\vec{v} <\/span>. On note \n\\vec{w} = \\vec{u} + \\vec{v} <\/span>.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

   <\/span>La relation de Chasles \u00e9tablit que\npour trois points A, B, et C dans le plan, \\vec{AC} = \\vec{AB} +\n\\vec{BC} <\/span>.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

5. Base orthonorm\u00e9e et coordonn\u00e9es d’un vecteur<\/span><\/h2>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

Une base orthonorm\u00e9e du plan est un couple de vecteurs (\\vec{i}, \\vec{j})\n<\/span> qui sont perpendiculaires et de norme 1. Les coordonn\u00e9es d’un vecteur \n\\vec{u} <\/span> sont les nombres r\u00e9els (x, y) <\/span> tels que \n\\vec{u} = x\\vec{i} + y\\vec{j} <\/span>.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

La norme<\/i> du vecteur \\vec{u} <\/span> est donn\u00e9e par \n\\lVert \\vec{u} \\rVert = \\sqrt{x^2 + y^2} <\/span>.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

6. Expression des coordonn\u00e9es de \\vec{AB} <\/span><\/span><\/h2>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

Les coordonn\u00e9es du vecteur \\vec{AB} <\/span>, avec A de coordonn\u00e9es\n (x_1, y_1) <\/span> et B de coordonn\u00e9es (x_2, y_2) <\/span>,\nsont donn\u00e9es par (x_2 – x_1, y_2 – y_1) <\/span>.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

7. Produit d’un vecteur par un nombre r\u00e9el et colin\u00e9arit\u00e9<\/span><\/h2>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

Le produit d’un vecteur \\vec{u} <\/span> de coordonn\u00e9es (x,\ny) <\/span> par un nombre r\u00e9el \\lambda <\/span> donne un nouveau\nvecteur \\vec{v} = \\lambda \\vec{u} <\/span> de coordonn\u00e9es \n(\\lambda x, \\lambda y) <\/span>.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

Deux vecteurs \\vec{u} <\/span> et \\vec{v} <\/span> sont dits\ncolin\u00e9aires s’il existe un r\u00e9el \\lambda <\/span> tel que \n\\vec{v} = \\lambda \\vec{u} <\/span>.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

8. D\u00e9terminant et crit\u00e8re de colin\u00e9arit\u00e9<\/span><\/h2>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

Le d\u00e9terminant de deux vecteurs \\vec{u} = (x_1, y_1) <\/span> et \n\\vec{v} = (x_2, y_2) <\/span> dans une base orthonorm\u00e9e est donn\u00e9 par \n\\text{det}(\\vec{u}, \\vec{v}) = x_1 y_2 – x_2 y_1 <\/span>.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

Les vecteurs \\vec{u} <\/span> et \\vec{v} <\/span> sont\ncolin\u00e9aires si et seulement si \\text{det}(\\vec{u}, \\vec{v}) = 0 <\/span>.\nCe crit\u00e8re est utilis\u00e9 pour v\u00e9rifier l’alignement (trois points sont align\u00e9s si\nles vecteurs qu’ils forment sont colin\u00e9aires) et le parall\u00e9lisme (deux vecteurs\nsont parall\u00e8les s’ils sont colin\u00e9aires).<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

M\u00e9thodes<\/span><\/h1>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

1. Repr\u00e9senter g\u00e9om\u00e9triquement des vecteurs<\/span><\/h2>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

   <\/span>– Choisissez deux points M<\/span>\net M'<\/span> dans le plan.
\n
\n<\/span><\/p>\n\n

   <\/span>– Tracez une fl\u00e8che allant de M<\/span>\n\u00e0 M'<\/span>. La fl\u00e8che repr\u00e9sente le vecteur \\vec{MM'}<\/span>.<\/span><\/p>\n\n


\n   <\/span>– Indiquez les caract\u00e9ristiques du\nvecteur : direction (ligne MM'<\/span>), sens (de M<\/span> \u00e0 M'<\/span>)\net norme (longueur de MM'<\/span>).<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

2. Construire g\u00e9om\u00e9triquement la somme de deux vecteurs<\/span><\/h2>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

   <\/span>– Repr\u00e9sentez les vecteurs \\vec{u}<\/span>\net \\vec{v}<\/span> en les pla\u00e7ant bout \u00e0 bout : la queue de \\vec{v}<\/span>\n\u00e0 la t\u00eate de \\vec{u}<\/span>.<\/span><\/p>\n\n


\n   <\/span>– Tracez un nouveau vecteur \\vec{w}<\/span>\nallant de la queue de \\vec{u}<\/span> \u00e0 la t\u00eate de \\vec{v}<\/span>.<\/span><\/p>\n\n


\n   <\/span>– \\vec{w}<\/span> est alors la\nsomme des vecteurs \\vec{u}<\/span> et \\vec{v}<\/span>, soit \\vec{w}\n= \\vec{u} + \\vec{v}<\/span>.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

3. Repr\u00e9senter et lire les coordonn\u00e9es d\u2019un vecteur<\/span><\/h2>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

   <\/span>– Pour repr\u00e9senter un vecteur \\vec{u}<\/span>\nde coordonn\u00e9es (x, y)<\/span>, partez d’un point A<\/span>,\ntracez x unit\u00e9s horizontalement et y unit\u00e9s verticalement, puis marquez le\npoint B<\/span>. \\vec{u}<\/span> est alors le vecteur \\vec{AB}<\/span>.<\/span><\/p>\n\n


\n   <\/span>– Pour lire les coordonn\u00e9es, mesurez\nles distances horizontale (x) et verticale (y) depuis le point de d\u00e9part du\nvecteur.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

4. Calculer les coordonn\u00e9es d’une somme de vecteurs et d’un produit d’un\nvecteur par un nombre r\u00e9el<\/span><\/h2>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

   <\/span>– Si \\vec{u}<\/span> a pour\ncoordonn\u00e9es (x_1, y_1)<\/span> et \\vec{v}<\/span> a pour\ncoordonn\u00e9es (x_2, y_2)<\/span>, alors les coordonn\u00e9es de \\vec{u}\n+ \\vec{v}<\/span> sont (x_1 + x_2, y_1 + y_2)<\/span>.<\/span><\/p>\n\n


\n   <\/span>– Pour un nombre r\u00e9el \\lambda<\/span>,\nles coordonn\u00e9es de \\lambda\\vec{u}<\/span> sont (\\lambda x_1,\n\\lambda y_1)<\/span>.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

5. Calculer la distance entre deux points et les coordonn\u00e9es du milieu d\u2019un\nsegment<\/span><\/h2>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

   <\/span>– La distance entre deux points A(x_1,\ny_1)<\/span> et B(x_2, y_2)<\/span> est d = \\sqrt{(x_2 – x_1)^2 +\n(y_2 – y_1)^2}<\/span>.<\/span><\/p>\n\n


\n   <\/span>– Les coordonn\u00e9es du milieu M<\/span>\ndu segment [AB]<\/span> sont \\left(\\frac{x_1 + x_2}{2}, \\frac{y_1\n+ y_2}{2}\\right)<\/span>.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

6. Caract\u00e9riser alignement et parall\u00e9lisme par la colin\u00e9arit\u00e9 de vecteurs<\/span><\/h2>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

   <\/span>– Trois points A, B, et C sont\nalign\u00e9s si les vecteurs \\vec{AB}<\/span> et \\vec{BC}<\/span> sont\ncolin\u00e9aires, c’est-\u00e0-dire det(\\vec{AB}, \\vec{BC}) = 0<\/span>.<\/span><\/p>\n\n


\n   <\/span>– Deux vecteurs \\vec{u}<\/span>\net \\vec{v}<\/span> sont parall\u00e8les s’ils sont colin\u00e9aires.<\/span><\/p>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

7. R\u00e9soudre des probl\u00e8mes en utilisant la repr\u00e9sentation la plus adapt\u00e9e\ndes vecteurs<\/span><\/h2>\n\n

 <\/span><\/p>\n\n

   <\/span>– Analysez le probl\u00e8me pour\nidentifier les concepts cl\u00e9s (somme de vecteurs, colin\u00e9arit\u00e9, etc.).<\/span><\/p>\n\n


\n   <\/span>– Choisissez la repr\u00e9sentation la plus\nadapt\u00e9e (graphique ou alg\u00e9brique) pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me.<\/span><\/p>\n\n


\n   <\/span>– V\u00e9rifiez la coh\u00e9rence de votre\nsolution par rapport \u00e0 la situation initiale.<\/span><\/p>\n\n\n\n\n\n