Comprendre et utiliser l’information chiffrée et la statistique descriptive permet d’analyser et d’interpréter des données de manière efficace et significative. Ces outils et concepts sont fondamentaux dans divers domaines tels que la recherche, l’économie, la science, et bien plus encore.
La proportion exprime une partie par rapport à un tout, et le pourcentage est la proportion multipliée par 100.
Proportion = \frac{Taille\:de\:la\:sous-population}{Taille\:de\:la\:population\:totale}
Pourcentage = Proportion \times 100
Exemple : Considérons une classe de 30 élèves comprenant 15 filles.
Proportion\:de\:filles = \frac{15}{30} = 0,5
Pourcentage\:de\:filles = 0,5 \times 100 = 50\%
Il est possible de calculer un pourcentage d’une sous-population, puis de prendre un pourcentage de ce résultat.
Exemple : Parmi les 15 filles, 9 aiment lire.
Pourcentage\:des\:filles\:qui\:aiment\:lire = \frac{9}{15} \times 100 = 60\%
Pourcentage\:total\:d'élèves\:qui\:sont\:des\:filles\:aimant\:lire = 50\% \times 60\% = 30\%
– Variation absolue : C’est la différence entre la valeur finale et la valeur initiale.
Variation\:Absolue = Valeur\:Finale – Valeur\:Initiale
– Variation relative : C’est la variation absolue exprimée en pourcentage de la valeur initiale.
Variation\:Relative = \frac{Variation\:Absolue}{Valeur\:Initiale} \times 100
Exemple : Si le prix d’un livre passe de 10€ à 12€,
Variation\:Absolue = 12€ – 10€ = 2€
Variation\:Relative = \frac{2€}{10€} \times 100 = 20\%
– Évolutions successives : Les coefficients multiplicateurs se multiplient entre eux lorsqu’une valeur subit plusieurs évolutions.
Coefficient\:Total = Coefficient_1 \times Coefficient_2 \times \ldots \times Coefficient_n
– Évolution réciproque : On utilise l’inverse du coefficient multiplicateur.
Coefficient\:Réciproque = \frac{1}{Coefficient\:Original}
Exemple : Un investissement de 100€ augmente de 10% puis diminue de 10%.
Coefficient\:total = 1,1 \times 0,9 = 0,99
Évolution\:Réciproque = \frac{1}{0,99} ≈ 1,0101
La moyenne pondérée est une moyenne qui prend en compte l’importance relative de chaque valeur.
Moyenne\:Pondérée = \frac{\sum (Valeur_i \times Poids_i)}{\sum Poids_i}
Exemple : Deux étudiants obtiennent des notes en Maths (Poids=3) et Histoire (Poids=1). L’étudiant A a 15 en Maths et 10 en Histoire, l’étudiant B a 10 en Maths et 14 en Histoire.
Moyenne\:Pondérée_A = \frac{(15 \times 3) + (10 \times 1)}{3 + 1} = 13,75
Moyenne\:Pondérée_B = \frac{(10 \times 3) + (14 \times 1)}{3 + 1} = 11
La moyenne a une propriété de linéarité.
Moyenne(aX + b) = a \times Moyenne(X) + b
Exemple : Un ensemble [2, 4, 6] a une moyenne de 4. Si chaque élément est multiplié par 2 et augmenté de 1, l’ensemble devient [5, 9, 13] et la moyenne est 9, soit 2 × 4 + 1.
– Quartiles : Les quartiles divisent un ensemble de données ordonnées en quatre parties égales.
– Q1 est la plus petite valeur de l’ensemble telles qu’au moins 25% des données soient inférieures ou égales à cette valeur.
– Q2 est la médiane de l’ensemble.
– Q3 est la plus petite valeur de l’ensemble telles qu’au moins 75% des données soient inférieures ou égales à cette valeur.
– Q4 est la valeur maximale de l’ensemble.
Par exemple, pour déterminer la position de Q1, on calcule 25\% \times \text{nombre de données}. Si ce produit n’est pas un nombre entier, on arrondit à l’entier supérieur pour s’assurer d’avoir au moins 25% des données en-dessous de Q1.
Exemple : Pour l’ensemble [10, 20, 30, 40, 50],
Position\:de\:Q1 = 25\% \times 5 = 1,25
On arrondit à 2 pour s’assurer que 25% des données (au moins 1 valeur) sont en-dessous de Q1. Donc, Q1 = 20.
– Écart interquartile (Q3-Q1) : Il mesure la dispersion autour de la médiane.
Écart\:Interquartile = Q3 – Q1
– Écart type : Il mesure à quel point les données sont proches de la moyenne.
Écart\:Type = \sqrt{\frac{\sum (Valeur_i – Moyenne)^2}{Nombre\:de\:Valeurs}}
Exemple : Pour l’ensemble [10, 20, 30, 40, 50],
– Q1 = 20, Q3 = 40
– Écart interquartile = 40 – 20 = 20.
– Écart type ≈ 14,14.
– Effectif : C’est le nombre total d’éléments dans une catégorie.
– Proportion : C’est le rapport de l’effectif d’une catégorie à l’effectif total.
– Pourcentage : C’est la proportion multipliée par 100.
Proportion = \frac{Effectif\:de\:la\:catégorie}{Effectif\:total}
Pourcentage = Proportion \times 100
On peut calculer un pourcentage d’une sous-population, puis un autre pourcentage sur ce résultat.
Exemple : Si 60% des élèves sont des filles et que 70% de ces filles pratiquent un sport, alors 42% des élèves sont des filles pratiquant un sport (60% × 70%).
Le taux d’évolution entre deux valeurs V_1 et V_2 est donné par :
Taux\:d'évolution = \frac{V_2 – V_1}{V_1} \times 100
Exemple : Si le prix d’une marchandise passe de 100€ à 120€, le taux d’évolution est \frac{120 – 100}{100} \times 100 = 20\% .
– Taux d’évolution global à partir de taux d’évolution successifs :
Taux\:d'évolution\:global = (1 + \frac{T_1}{100}) \times (1 + \frac{T_2}{100}) \times \ldots \times (1 + \frac{T_n}{100}) – 1
– Taux d’évolution réciproque : Si une valeur augmente de T\%, alors le taux d’évolution réciproque est \frac{100}{100 + T} \times 100 – 100\% .
Exemple : Si un investissement augmente de 10% puis diminue de 10%, le taux d’évolution global est (1 + \frac{10}{100}) \times (1 – \frac{10}{100}) – 1 = -1\% .
Pour comparer deux séries statistiques, on peut :
– Examiner les indicateurs de tendance centrale (moyenne, médiane) pour identifier où se situe le centre de chaque série.
– Analyser les indicateurs de dispersion (écart type, écart interquartile) pour comprendre l’étendue et la variabilité des données.
– Utiliser des représentations graphiques (diagrammes en barres, boîtes à moustaches) pour visualiser les différences.
Exemple : Deux classes peuvent avoir la même moyenne en mathématiques, mais une classe peut avoir un écart type plus élevé, indiquant une plus grande variété dans les scores.