La compréhension des notions de multiple et de diviseur est fondamentale en mathématiques. Ces concepts nous permettent de classer et de manipuler les nombres de différentes manières, facilitant ainsi la résolution de problèmes plus complexes. Les nombres pairs et impairs sont des cas particuliers de ces concepts et sont fréquemment utilisés dans de nombreux domaines des mathématiques et de la science en général.
Avant de plonger dans les notions de multiple, de diviseur et de nombre premier, commençons par comprendre les notations ℕ et ℤ.
– ℕ : L’ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ. Il regroupe tous les entiers non-négatifs, à partir de 0 et s’étendant à l’infini : \mathbb{Z} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, …\}
– ℤ : L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ. Il comprend à la fois les entiers positifs, les entiers négatifs et zéro : \mathbb{N} = \{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …\}
2.1 Multiple
Un nombre a est dit multiple d’un autre nombre b (avec b \neq 0), si a est le résultat de la multiplication de b par un entier. Mathématiquement, on écrit a est multiple de b si, et seulement si, il existe un entier k tel que a = b \times k. Par exemple, 12 est un multiple de 4 car 12 = 4 \times 3.
2.2 Diviseur
Un nombre a est dit diviseur d’un autre nombre b, si la division de b par a donne un quotient qui est un entier. Mathématiquement, on écrit a est un diviseur de b si, et seulement si, il existe un entier k tel que b = a \times k. Par exemple, 3 est un diviseur de 12 car 12 = 3 \times 4.
2.3 Nombre pair et nombre impair
– Nombre pair : Un nombre entier n est dit pair si et seulement si n est divisible par 2, c’est-à-dire qu’il existe un entier k tel que n = 2 \times k. Par exemple, 4, 6 et 8 sont des nombres pairs car ils sont respectivement multiples de 2.
– Nombre impair : Un nombre entier n est dit impair si et seulement si n n’est pas divisible par 2, c’est-à-dire que, lorsqu’on divise n par 2, le reste est 1. Mathématiquement, un nombre n est impair si n = 2k + 1 où k est un entier. Par exemple, 3, 5 et 7 sont des nombres impairs.
1.1 Problèmes liés aux multiples et aux diviseurs :
Pour résoudre des problèmes liés aux multiples et aux diviseurs, vous pouvez suivre ces étapes :
– Identification : Déterminez si le problème requiert
la recherche de multiples ou de diviseurs.
– Formulation d’équations : Formulez des équations basées sur les informations données.
– Résolution : Résolvez les équations pour trouver la solution.
Exemple : Si un problème demande de trouver tous les multiples de 5 entre 10 et 50, vous pouvez simplement lister ces multiples en ajoutant 5 à chaque étape, en commençant par le plus petit multiple dans la plage donnée (10, 15, 20, …, 50).
1.2. Problèmes liés aux nombres pairs et impairs :
Ces problèmes sont souvent résolus en utilisant la propriété des nombres pairs (2k) et impairs (2k+1).
Exemple : Si un problème demande de trouver deux nombres consécutifs impairs dont la somme est 20, vous pouvez définir les nombres comme 2k+1 et 2k+3, puis résoudre l’équation 2k+1 + 2k+3 = 20.
1.3. Problèmes liés aux nombres premiers :
Pour résoudre des problèmes liés aux nombres premiers, utilisez les propriétés des nombres premiers.
– Identification : Un nombre premier est un nombre naturel supérieur à 1 qui n’a pas d’autres diviseurs que 1 et lui-même.
– Vérification : Pour vérifier si un nombre est premier, vous pouvez le
diviser par tous les nombres inférieurs à sa racine carrée. Si aucune division
ne donne un quotient entier, alors le nombre est premier.
Exemple : Si vous devez trouver le plus petit nombre premier supérieur à 10, vous vérifiez chaque nombre (>10) jusqu’à ce que vous trouviez un nombre premier, ici 11.
Une fraction est dite irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, c’est-à-dire qu’ils n’ont pas d’autres diviseurs communs que 1.
Étapes pour simplifier une fraction :
1. Trouver le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) : Déterminez le plus grand nombre qui peut diviser à la fois le numérateur et le dénominateur de la fraction.
2. Diviser : Divisez à la fois le numérateur et le dénominateur par le PGCD trouvé.
3. Écrire la fraction simplifiée : La fraction obtenue après division est la fraction irréductible.
Exemple : Pour simplifier la fraction 20/45:
– PGCD(20, 45) = 5
– Fraction irréductible = 20 ÷ 5/45 ÷ 5 = 4/9
Ainsi, 20/45 peut être présenté sous forme irréductible comme 4/9.