Le calcul littéral consiste à manipuler des expressions mathématiques contenant des lettres (souvent notées x, y, a, b, etc.) qui représentent des nombres inconnus. Cette branche des mathématiques est très utile pour résoudre des problèmes de manière générale sans connaître les valeurs spécifiques.
– Puissances :
– a^m \times a^n = a^{m+n}
– a^m \div a^n = a^{m-n},
a \neq 0
– (a^m)^n = a^{m \times n}
– a^0 = 1, a
\neq 0
– a^{-n} = \frac{1}{a^n},
a \neq 0
– Racines carrées :
– \sqrt{a \times b} = \sqrt{a}
\times \sqrt{b}
– \sqrt{\frac{a}{b}} =
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, b \neq 0
– \sqrt{a^2} = |a|
– Différence de carrés : a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)
– Carré d’une somme : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
– Carré d’une différence : (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2
Utilisation dans les deux sens :
– Pour factoriser : x^2 – 9 =
(x – 3)(x + 3)
– Pour développer : (x – 2)^2 =
x^2 – 4x + 4
– Simplification : \frac{2x^2 – 4x}{2x} = \frac{2x(x – 2)}{2x} = x – 2
– Développement et factorisation : (x + 3)(x – 2) = x^2 + x – 6
– Somme : Si a > b et c > d, alors a + c > b + d.
– Produit par un réel positif : Si a > b et c
> 0, alors a \times c > b \times c.
– Produit par un réel négatif : Si a > b et c
< 0, alors a \times c < b \times c.
– Équation :
– Une équation est une expression où
deux quantités sont égales, souvent contenant une ou plusieurs inconnues.
Résoudre une équation revient à trouver l’ensemble des valeurs que peut prendre
l’inconnue pour que l’égalité soit vraie.
– Par exemple, pour l’équation 2x
– 4 = 0, la solution est x = 2, car cette valeur rend
l’égalité vraie. L’ensemble des solutions est donc S = \{2\}.
– Une équation peut aussi avoir
plusieurs solutions, une infinité de solutions, ou aucune solution.
– Inéquation :
– Une inéquation est similaire à une
équation mais, au lieu d’une égalité, elle exprime une relation d’ordre (>,
<, ≥, ≤) entre deux expressions.
– L’objectif est de déterminer
l’ensemble des valeurs que peut prendre l’inconnue pour que l’inéquation soit
vraie.
– Par exemple, pour l’inéquation 2x
– 4 > 0, la solution est x > 2, car toutes les
valeurs de x supérieures à 2 rendent l’inéquation vraie.
L’ensemble des solutions est donc S = ]2, +\infty[.
– Puissances : Utilisez les règles des puissances pour simplifier l’expression.
– Exemple : a^2 \times a^3 = a^{2+3} = a^5.
– Racines carrées : Appliquez les propriétés des racines carrées pour
simplifier.
– Exemple : \sqrt{9} = 3, \sqrt{a^2} = |a|.
– Écritures fractionnaires : Simplifiez les fractions en trouvant le
PGCD des numérateurs et dénominateurs, ou effectuez des simplifications
croisées.
– Exemple : \frac{2x^2}{4x} = \frac{x}{2}.
– Cas simples : Isoler la variable désirée en utilisant des opérations de base.
– Exemple : U = RI donne I = \frac{U}{R}, et S = \pi r^2 donne r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}.
– Relation du premier degré : Réarrangez l’équation pour isoler la
variable désirée.
– Exemple : ax + by = c donne x = \frac{c – by}{a}.
– Factorisée : Utile quand on souhaite trouver les racines d’une équation.
– Exemple : x^2 – 6x + 9 = (x – 3)^2.
– Développée réduite : Utile pour simplifier ou comparer des
expressions.
– Exemple : (x – 3)^2 = x^2 – 6x + 9.
– Différence : Si a et b sont deux quantités, alors a – b > 0 signifie que a est plus grand que b.
– Quotient : Si a et b sont positives,
alors \frac{a}{b} > 1 signifie que a est plus
grand que b.
– Analysez le problème, identifiez les variables et établissez une inéquation qui décrit la situation.
– Exemple : Si vous avez moins de 100€
à dépenser et chaque livre coûte 20€, 20x \leq 100.
– Isoler la variable en effectuant des opérations inverses des deux côtés de l’inéquation.
– Exemple : Pour résoudre 2x +
3 < 7, commencez par soustraire 3 des deux côtés, donnant 2x
< 4, puis divisez par 2 pour obtenir x < 2.
– Il est important de noter que lorsqu’on multiplie ou divise les deux côtés
d’une inéquation par un nombre négatif, le sens de l’inéquation change (par
exemple, de « > » à « <« ).