En géométrie analytique, les droites du plan cartésien sont souvent définies par des équations et peuvent être caractérisées par plusieurs propriétés, dont leur vecteur directeur, leur équation et leur pente. Ces concepts sont fondamentaux pour comprendre et travailler avec des droites dans un contexte mathématique.
Dans ce cours, le plan est muni d’un repère orthonormé.
Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur qui indique la direction de la droite dans le plan. Il est défini par deux points A(x_1, y_1) et B(x_2, y_2) de la droite tels que :
\vec{AB} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1)
Tous les vecteurs colinéaires à \vec{AB} sont des vecteurs directeurs de la même droite. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
a. Équation cartésienne
L’équation cartésienne d’une droite est de la forme Ax + By + C = 0, où A, B et C sont des réels constants. Cette équation permet de déterminer si un point M(x, y) appartient à la droite : le point M est sur la droite si et seulement si Ax + By + C = 0.
b. Équation réduite
L’équation réduite d’une droite est une simplification de l’équation cartésienne et s’écrit sous la forme y = mx + p, où m est le coefficient directeur (ou la pente) et p est l’ordonnée à l’origine. Cette forme est particulièrement pratique pour représenter graphiquement une droite.
3. Pente (ou coefficient directeur) d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées
La pente, ou le coefficient directeur, d’une droite est un indicateur de son inclinaison par rapport à l’axe des abscisses. Elle est définie uniquement pour les droites qui ne sont pas parallèles à l’axe des ordonnées. La pente m est donnée par :
m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} où (x_1, y_1) et (x_2, y_2) sont deux points distincts de la droite.
Interprétations de la pente :
– Si m > 0, la droite est ascendante.
– Si m < 0, la droite est descendante.
– Si m = 0, la droite est horizontale.
a. Deux points A(x_1, y_1) et B(x_2,
y_2) :
La pente m de la droite est donnée par :
m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}
L’équation réduite de la droite est donc :
y = m(x – x_1) + y_1
b. Un point A(x_1, y_1) et un vecteur directeur \vec{v} = (a, b) :
La pente m est \frac{b}{a}, et l’équation réduite
est :
y = \frac{b}{a}(x – x_1) + y_1
c. Un point A(x_1, y_1) et la pente m :
L’équation réduite est simplement :
y = m(x – x_1) + y_1
a. Équation réduite y = mx + p :
La pente est directement donnée par m, et un vecteur directeur
possible est (1, m).
b. Équation cartésienne Ax + By + C = 0 :
La pente est -\frac{A}{B} et un vecteur directeur possible est (B, -A).
c. Représentation graphique :
Choisir deux points A et B sur la droite, puis
calculer la pente m comme précédemment. Le vecteur \vec{AB}
sera un vecteur directeur.
a. Équation réduite y = mx + p :
Tracer le point d’ordonnée à l’origine p puis utiliser la pente m
pour trouver un autre point. Relier les points.
b. Équation cartésienne Ax + By + C = 0 :
Trouver deux points A et B en substituant des
valeurs de x et résoudre pour y, ou vice versa.
Relier les points.
Trois points A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), et C(x_3, y_3) sont alignés si les pentes AB et BC sont égales, c’est-à-dire si :
\frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{y_3 – y_2}{x_3 – x_2}
Deux droites d_1: y = m_1x + p_1 et d_2: y = m_2x + p_2 sont:
– Parallèles si m_1 = m_2 et p_1
\neq p_2.
– Sécantes si m_1 \neq m_2.
– Confondues si m_1 = m_2 et p_1 = p_2.
Pour résoudre le système :
\begin{cases} y = m_1x + p_1 \\ y = m_2x + p_2 \end{cases}
On égalise les deux équations pour trouver x, puis on substitue x dans une des équations pour trouver y. Le point d’intersection est alors I(x, y).