Se constituer un répertoire de fonctions de référence permet d’avoir des outils de base pour analyser une grande variété de fonctions. La maîtrise de ces fonctions de base et des méthodes associées est fondamentale pour progresser dans l’étude des fonctions plus complexes.
1.1 Fonction carré : f(x) = x^2
Définition : La fonction carré associe à un nombre x son carré x^2.
Courbe représentative : Il s’agit d’une parabole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, ouverte vers le haut, ayant son sommet en O(0,0).
1.2 Fonction inverse : f(x) = \frac{1}{x}
Définition : La fonction inverse associe à un nombre x, différent de 0, son inverse \frac{1}{x}.
Courbe représentative : Cette fonction est représentée par deux hyperboles symétriques par rapport à l’origine, une dans chaque quadrant impair (I et III).
1.3 Fonction racine carrée : f(x) = \sqrt{x}
Définition : La fonction racine carrée associe à un nombre x positif ou nul, sa racine carrée \sqrt{x}.
Courbe représentative : La courbe est semblable à la moitié gauche d’une parabole qui serait inclinée de 90°, débutant à l’origine et croissant lorsque x augmente.
1.4. Fonction cube : f(x) = x^3
Définition : La fonction cube associe à un nombre x son cube x^3.
Courbe représentative : La courbe de cette fonction ressemble à celle de x^2, mais présente une symétrie par rapport à l’origine (contrairement à x^2 qui est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées), croît moins vite avant 1, et croît plus vite après 1.
Méthode numérique :
a) Calculez f(a) et f(b).
b) Comparez les deux valeurs obtenues. Si f(a) > f(b), alors la courbe de la fonction est plus haute en a qu’en b. Sinon, c’est l’inverse.
Méthode graphique :
a) Tracez la courbe représentative de f.
b) Repérez les points A(a, f(a)) et B(b, f(b)) sur le graphique.
c) Comparez la hauteur des deux points pour déterminer lequel est le plus haut.
Méthode graphique :
a) Tracez la courbe représentative de f.
b) Tracez la droite horizontale d’équation y = k.
c) Les points d’intersection entre la courbe de f et cette droite correspondent aux solutions de f(x) = k.
d) Pour l’inéquation, déterminez les zones où la courbe est au-dessus (ou en dessous) de la droite y = k.
Méthode algébrique :
a) Posez l’équation f(x) = k ou l’inéquation f(x) < k.
b) Résolvez l’équation ou l’inéquation obtenue. Les solutions trouvées sont les x pour lesquels f(x) vaut k ou est inférieur à k.