La manipulation des nombres réels est essentielle dans divers domaines des mathématiques et de la science. Comprendre les caractéristiques des différents sous-ensembles de ℝ, tels que ℚ, 𝔻, et les nombres irrationnels, ainsi que les notions d’intervalle et de distance, est crucial pour travailler efficacement avec les nombres réels.
L’ensemble des nombres réels, noté ℝ, est constitué de l’ensemble des nombres qui peuvent être représentés sur une droite numérique. Cette droite s’étend à l’infini dans les deux directions et chaque point sur cette droite correspond à un nombre réel unique. Les nombres réels comprennent à la fois les nombres rationnels (qui peuvent être exprimés comme le quotient de deux entiers) et les nombres irrationnels (qui ne peuvent pas être exprimés de cette manière).
Un intervalle est une portion continue de la droite numérique. Les
intervalles sont généralement notés sous la forme [a, b], où a
et b sont les extrémités de l’intervalle. Voici quelques
exemples d’intervalles :
– ]-∞, a] : tous les nombres réels inférieurs ou égaux à a.
– [a, +∞[ : tous les nombres réels supérieurs ou égaux à a.
– ]a, b[ : tous les nombres réels strictement entre a et b.
– [a, b] : tous les nombres réels entre a et b,
inclus.
La valeur absolue d’un nombre réel a, notée |a|, est la distance entre a et zéro sur la droite numérique. Pour tout a dans ℝ, |a| est toujours positif ou nul.
La distance entre deux nombres réels a et b est donnée par la valeur absolue de leur différence : |a – b|.
L’intervalle [a – r, a + r] comprend tous les nombres réels situés à une distance r ou moins de a. Cela peut être caractérisé par la condition |x – a| ⩽ r, qui signifie que la distance entre x et a est inférieure ou égale à r.
L’ensemble des nombres décimaux, noté 𝔻, est constitué de nombres qui peuvent être exprimés sous la forme d’une fraction décimale. Pour encadrer un nombre réel x à 10^{-n} près, on cherche deux nombres décimaux d_1 et d_2, tels que d_1 \leq x \leq d_2, et dont la différence est 10^{-n} ou moins.
L’ensemble des nombres rationnels, noté ℚ, est composé de tous les nombres qui peuvent être exprimés comme le quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul. Les nombres irrationnels sont ceux qui ne peuvent pas être exprimés de cette manière.
Exemples de nombres irrationnels fournis par la géométrie :
– La racine carrée de 2 ( \sqrt{2} ) : Elle provient de la diagonale d’un carré de côté 1. Selon le théorème de Pythagore, cette longueur est \sqrt{2} , qui est un nombre irrationnel.
– Le nombre π (pi) : C’est le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. π ne peut pas être exprimé comme le quotient exact de deux entiers et est donc irrationnel.
– Associer un nombre réel à un point :
Pour tout point P sur la droite graduée, on mesure la distance entre P et l’origine O, qui représente le nombre 0. Si P est à droite de O, le nombre associé est positif, et s’il est à gauche, le nombre est négatif. La distance mesure la valeur absolue du nombre.
– Associer un point à un nombre
réel :
Pour placer un nombre réel a sur la droite, on part de l’origine O. Si a est positif, on se déplace vers la droite de |a| unités pour marquer le point P. Si a est négatif, on se déplace vers la gauche de |a| unités.
– Représenter un intervalle :
Pour représenter un intervalle, par exemple a, b, on marque les points correspondant à a et b sur la droite numérique et on dessine un segment de ligne les reliant. On utilise des crochets pour indiquer que les points a et b sont inclus dans l’intervalle, et des parenthèses ( ) pour indiquer qu’ils sont exclus.
– Vérifier l’appartenance à un
intervalle :
Pour vérifier si un nombre réel x appartient à un intervalle a, b, on vérifie simplement si a \leq x \leq b. Si c’est le cas, alors x appartient à l’intervalle.
Pour encadrer un nombre réel x avec une amplitude donnée, par exemple 10^{-n}, on cherche deux nombres décimaux d_1 et d_2 tels que d_1 \leq x \leq d_2 et que la différence d_2 – d_1 soit inférieure ou égale à 10^{-n}. En pratique, cela revient souvent à arrondir x à n décimales pour obtenir d_1 et d_2.
Lors de la résolution de problèmes, il est important d’arrondir les réponses de manière appropriée à la situation. Le nombre de chiffres significatifs doit être déterminé en fonction de la précision des données d’entrée et du contexte du problème.
– Identifier la précision
requise : Examinez les données du problème pour déterminer le niveau de
précision requis.
– Arrondir de manière appropriée : Arrondissez votre réponse finale à ce nombre de chiffres significatifs, en vous assurant de conserver la précision tout en évitant une fausse impression de certitude.
Par exemple, si vous mesurez une longueur avec une règle graduée au millimètre, il n’est pas logique de donner une réponse à six décimales. De même, si une question concerne des personnes, la réponse doit être un entier.
Ces méthodes sont des outils essentiels pour manipuler et interpréter les nombres réels dans divers contextes mathématiques et scientifiques.