Étudier les variations et les extremums d’une fonction permet de comprendre son comportement sur un intervalle donné. Les notions de croissance, décroissance, maximum et minimum sont cruciales dans l’analyse de fonctions et trouvent des applications dans de nombreux domaines.
Une fonction f: I \rightarrow \mathbb{R} , définie sur un intervalle I , est dite :
– Croissante sur I si pour tous x_1, x_2 dans I , x_1 < x_2 implique f(x_1) \leq f(x_2) .
– Décroissante sur I si pour tous x_1, x_2 dans I , x_1 < x_2 implique f(x_1) \geq f(x_2) .
– Monotone sur I si elle est soit croissante soit décroissante sur I .
Tableau de variations :
Le tableau de variations permet de visualiser la variation d’une fonction sur un intervalle donné. Il se présente sous forme d’un tableau dans lequel les lignes correspondent aux intervalles de variation et les colonnes aux valeurs de la fonction. Il sera abordé plus en détail dans la partie « Méthodes ».
– Maximum local : Un point c est un maximum local de f si f(c) est plus grande que les valeurs de f prises en des points suffisamment proches de c .
– Minimum local : Un point c est un minimum local de f si f(c) est plus petite que les valeurs de f prises en des points suffisamment proches de c .
– Maximum/Minimum global (ou absolu) : Ces points sont les valeurs les plus élevées/basses prises par la fonction sur tout son intervalle de définition.
Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b , où a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine.
– Si a > 0 , la fonction est croissante sur \mathbb{R} et le coefficient directeur représente le taux d’accroissement de f .
– Si a < 0 , la fonction est décroissante sur \mathbb{R} .
– Si a = 0 , la fonction est constante.
– Fonction carré : f(x) = x^2
– Cette fonction est décroissante sur ]-\infty, 0] et croissante sur [0, +\infty[ . Le minimum global est 0 .
– Fonction inverse : f(x) = \frac{1}{x}
– Cette fonction est décroissante sur ]-\infty, 0[ et ]0, +\infty[ . Elle n’a ni maximum ni minimum global.
– Fonction racine carrée : f(x) = \sqrt{x}
– Cette fonction est croissante sur [0, +\infty[ . Le minimum global est 0 .
– Fonction cube : f(x) = x^3
– Cette fonction est croissante sur \mathbb{R} , mais elle passe par toutes les valeurs de \mathbb{R} donc elle n’a ni maximum ni minimum global.
– Identifiez sur le graphique les zones où la fonction est croissante ou décroissante.
– Observez les points où la courbe atteint un sommet (maximum local) ou un creux (minimum local).
– Remplissez le tableau de variations :
– Notez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante.
– Inscrivez les valeurs des extremums dans le tableau.
Exemple avec la fonction f(x) = x^2. Considérons l’intervalle I = [-2, 2].
1. Identification des zones de croissance et de décroissance sur le graphique :
– La courbe de y = x^2 est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (axe y).
– Pour x < 0, la courbe descend en allant vers l’axe des abscisses (axe x).
– Pour x > 0, la courbe monte en s’éloignant de l’axe des abscisses.
2. Observation des points de maximum et de minimum local :
– La courbe atteint un creux (minimum local) au point où x = 0, et f(0) = 0^2 = 0.
3. Remplissage du tableau de variations :
– La fonction est décroissante sur [-2, 0], puis croissante sur [0, 2].
– Le minimum local est 0.
Tableau de variations :
\begin{array}{c|c c c c} x & -2 & & 0 & & 2 \\ \hline f(x) & 4 & \searrow & \text{0 (min)} & \nearrow & 4 \\ \end{array}
Interprétation :
Le tableau indique que sur l’intervalle [-2, 2], la fonction f(x) = x^2 décroît de 4 à 0 quand x varie de -2 à 0, puis croît de 0 à 4 quand x varie de 0 à 2.
– Observez la courbe représentant la fonction.
– Un maximum local se repère là où la courbe forme un sommet, c’est-à-dire quand elle passe de la croissance à la décroissance.
– Un minimum local se repère là où la courbe forme un creux, c’est-à-dire quand elle passe de la décroissance à la croissance.
– Les extremums globaux sont les valeurs les plus hautes et les plus basses atteintes par la courbe sur l’intervalle considéré.
Exemple avec la calculatrice :
– Entrer la fonction : La plupart des calculatrices graphiques permettent d’entrer une fonction directement. Pour cela, allez dans le menu dédié (souvent appelé « Graph » ou « Y= ») et saisissez la formule de votre fonction.
– Visualiser le graphique : Une fois la fonction entrée, vous pouvez la visualiser en choisissant l’option pour afficher le graphique (souvent simplement « Graph »). La courbe de votre fonction s’affichera à l’écran.
– Analyser les variations : En observant la courbe, identifiez les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante ainsi que les points où elle atteint des maximums ou minimums locaux.
– Utiliser des outils spécifiques : Certaines calculatrices offrent des outils pour trouver directement les extremums, les points d’intersection, etc. Consultez le manuel de votre calculatrice pour connaître les étapes précises.
Ainsi, en utilisant ces fonctionnalités, vous pouvez obtenir une description rapide et précise des variations de la fonction.
– Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b.
– Le coefficient directeur a donne le sens de variation :
– Si a > 0, la fonction est croissante. La droite représentative aura une pente ascendante.
– Si a < 0, la fonction est décroissante. La droite représentative aura une pente descendante.
– Si a = 0, la fonction est constante. La droite représentative sera horizontale.
– Le signe de la fonction est déterminé par le signe de a et b. Par exemple, si a > 0 et b > 0, alors f(x) sera toujours positif.